Definimos a soma de duas funções f e g como sendo a função
(f+g)(x):=f(x)+g(x), \quad \forall x \in \operatorname{dom}(f+g):=\operatorname{dom}(f) \cap \operatorname{dom}(g) .
Observe que o domínio da função soma é a interseção dos domínio de f e g, pois para somar precisamos calcular f(x) e g(x).
Por exemplo, se f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} e g: \mathbb{R} \backslash\{7\} \rightarrow \mathbb{R} são dadas por
f(x)=2 x^{2}-8, \quad g(x)=\frac{2}{x-7}
então (f+g)(x)=f(x)+g(x)=2 x^{2}-8+\frac{2}{x-7}, para todo x \in \operatorname{dom}(f+g)=\mathbb{R} \backslash\{7\}. De maneira análoga definimos subtração, produto e quociente de duas funções. Neste último caso é importante excluir do domínio os pontos que anulam o denominador. Para f e g como acima, determine a expressão e domínio de
\left(\frac{g}{f}\right)(x):=\frac{g(x)}{f(x)}

Passo 1

O enunciado nos dá duas funções
f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad f(x)=2x^2-8
g\colon \mathbb{R}\setminus\{7\}\to\mathbb{R},\quad g(x)=\frac{2}{x-7}
e pede a expressão e o domínio de
\Bigl(\frac{g}{f}\Bigr)(x)=\frac{g(x)}{f(x)}.
O conteúdo é operações com funções: a definição de quociente diz que
\operatorname{dom}\Bigl(\frac{g}{f}\Bigr) =\operatorname{dom}(g)\,\cap\,\operatorname{dom}(f)\;-\;\{x\mid f(x)=0\}.

Passo 2

Escrevendo diretamente a fração, temos
\Bigl(\frac{g}{f}\Bigr)(x) =\frac{\displaystyle \frac{2}{x-7}}{\displaystyle 2x^2-8} =\frac{2}{(x-7)\,\bigl(2x^2-8\bigr)}.

Passo 3

Para simplificar, observe que 2x^2-8=2(x^2-4)=2(x-2)(x+2). Logo
\Bigl(\frac{g}{f}\Bigr)(x) =\frac{2}{(x-7)\,2\,(x-2)(x+2)} =\frac{1}{(x-7)\,(x-2)\,(x+2)}.

Passo 4

Agora o domínio. Primeiro,
\operatorname{dom}(g)\cap\operatorname{dom}(f) =(\mathbb{R}\setminus\{7\})\cap\mathbb{R} =\mathbb{R}\setminus\{7\}.
Depois, excluímos os zeros de f, ou seja, as soluções de 2x^2-8=0, que são x=\pm2. Portanto
\operatorname{dom}\Bigl(\tfrac{g}{f}\Bigr) =\mathbb{R}\setminus\{-2,\,2,\,7\}.

Resposta

\Bigl(\frac{g}{f}\Bigr)(x) =\frac{1}{(x-7)\,(x-2)\,(x+2)}, \quad \operatorname{dom}\Bigl(\tfrac{g}{f}\Bigr) =\mathbb{R}\setminus\{-2,\,2,\,7\}.

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