Definimos a soma de duas funções f e g como sendo a função
(f+g)(x):=f(x)+g(x), \quad \forall x \in \operatorname{dom}(f+g):=\operatorname{dom}(f) \cap \operatorname{dom}(g) .
Observe que o domínio da função soma é a interseção dos domínio de f e g, pois para somar precisamos calcular f(x) e g(x).
Por exemplo, se f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} e g: \mathbb{R} \backslash\{7\} \rightarrow \mathbb{R} são dadas por
f(x)=2 x^{2}-8, \quad g(x)=\frac{2}{x-7}
então (f+g)(x)=f(x)+g(x)=2 x^{2}-8+\frac{2}{x-7}, para todo x \in \operatorname{dom}(f+g)=\mathbb{R} \backslash\{7\}. De maneira análoga definimos subtração, produto e quociente de duas funções. Neste último caso é importante excluir do domínio os pontos que anulam o denominador. Para f e g como acima, determine a expressão e domínio de
(f \cdot g)(x):=f(x) g(x)

Passo 1

O enunciado dá as funções
f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad f(x)=2x^{2}-8,
g\colon \mathbb{R}\setminus\{7\}\to\mathbb{R},\quad g(x)=\frac{2}{x-7},
e pede o produto (f\cdot g)(x)=f(x)\,g(x). Para resolver, precisamos saber (1) qual é o domínio de f\cdot g e (2) calcular f(x)\,g(x) e simplificar.

Passo 2

Pela definição,
\operatorname{dom}(f\cdot g)=\operatorname{dom}(f)\cap\operatorname{dom}(g).
Como \operatorname{dom}(f)=\mathbb{R} e \operatorname{dom}(g)=\mathbb{R}\setminus\{7\}, segue
\operatorname{dom}(f\cdot g)=\mathbb{R}\setminus\{7\}.

Passo 3

Calculamos
(f\cdot g)(x)=\bigl(2x^{2}-8\bigr)\cdot\frac{2}{x-7} =\frac{2\,(2x^{2}-8)}{x-7} =\frac{4x^{2}-16}{x-7}.
Podemos ainda fatorar 4x^{2}-16=4(x^{2}-4)=4(x-2)(x+2), mas não há cancelamento com x-7.

Resposta

(f\cdot g)(x)=\frac{4x^{2}-16}{x-7}, \quad \operatorname{dom}(f\cdot g)=\mathbb{R}\setminus\{7\}.

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