Definir os seguintes conceitos:
d) Fluidos incompressíveis e compressíveis;
d) Fluidos incompressíveis e compressíveis;
Passo 1
O enunciado pede para definir dois conceitos: (1) fluidos incompressíveis e (2) fluidos compressíveis.
Informações relevantes (o que vamos precisar): nenhuma informação numérica foi dada no enunciado; preciso explicar os conceitos em termos de variação de densidade , equações básicas (continuidade) e critérios práticos para decidir quando usar cada hipótese.
Informações relevantes (o que vamos precisar): nenhuma informação numérica foi dada no enunciado; preciso explicar os conceitos em termos de variação de densidade
Passo 2
Conceitos básicos que precisamos entender antes da definição:
- Densidade: a densidade de um fluido é
(massa por volume). Se a massa de uma pequena porção do fluido não muda quando a pressão ou temperatura mudam, dizemos que é constante para essa porção. - Equação da continuidade (conservação de massa, forma geral):
onde
é o campo de velocidade do fluido. Essa equação é central para distinguir fluxos compressíveis de incompressíveis.
- Compressibilidade e módulo volumétrico: a compressibilidade isoterma (coeficiente)
e o módulo volumétrico são definidos por
e, para pequenas variações,
e
(sinais ajustados conforme convenção). Para um gás ideal em processo adiabático reversível vale também
, onde
é a razão de capacidades térmicas.
Passo 3
Definição formal de fluido incompressível (com explicação didática e em linguagem prática):
- Definição em palavras: um fluido é chamado incompressível quando a sua densidade
pode ser considerada (aproximadamente) constante enquanto o fluido se move ou quando é submetido às variações de pressão/tensão do problema. - Forma matemática útil na mecânica dos fluidos: assumir incompressibilidade significa tomar
onde
é a derivada material. Substituindo isso na equação da continuidade geral resulta em
- Interpretação prática:
diz que o campo de velocidade é divergência nula; volumes de fluido se deformam mas não mudam de volume localmente. Em provas, normalmente diz-se “fluido incompressível densidade constante ”.
Passo 4
Definição formal de fluido compressível (com explicação didática):
- Definição em palavras: um fluido é compressível quando a sua densidade
varia de forma significativa com pressão e/ou temperatura no processo em análise, de modo que não é aceitável substituir por uma constante. - Forma matemática: mantém-se a equação da continuidade completa
ou, em derivada material,
o que mostra que
não é forçado a zero e que variações de densidade aparecem acopladas ao campo de velocidade e à termodinâmica (equação de estado, energia, etc.). Em problemas compressíveis é necessário usar uma equação de estado (por exemplo, gás ideal
) e geralmente a equação de energia.
Passo 5
Critérios práticos para decidir na prova se um fluido pode ser tratado como incompressível:
- Regra do número de Mach: para escoamentos de gases costuma-se usar o número de Mach
onde
é uma velocidade característica do escoamento e
é a velocidade do som no meio. Um critério prático é:
- se
então os efeitos de compressibilidade são pequenos e o fluido pode ser tratado como incompressível (variações de densidade típicas ); - se
é da ordem de ou maior, o escoamento é claramente compressível (ondas de choque, variações significativas de densidade). - Outra forma (para gases) baseada em variação de pressão: para pequenas variações de pressão
em torno da pressão de referência , a variação relativa de densidade para um gás ideal (processo praticamente isentrópico) satisfaz aproximadamente
Derivação curta (útil na prova): para um escoamento isentrópico,
(pressão dinâmica) e usando
obtem-se
Logo,
(cerca de
).
- Para líquidos (água, óleos) costuma-se verificar a compressibilidade via o módulo volumétrico
: variação relativa de densidade sob é aproximadamente
Como
para líquidos é muito grande (por exemplo, água
), uma
da ordem de
causa variação de densidade muito pequena (ordem
a
), justificando a hipótese de incompressibilidade.
Passo 6
Exemplos numéricos rápidos (úteis para memorizar e aplicar em prova):
- Exemplo com gás (ar): velocidade do som típica
. Para temos e
logo compressibilidade pouco importante → modelo incompressível aceitável.
- Exemplo com líquido (água): com
, uma variação de pressão dá
ou seja, praticamente nenhuma variação de densidade → incompressível na prática.
Passo 7
Consequências práticas e dicas para prova:
- Se adotar incompressibilidade, simplifique o problema: use
constante e . A equação de energia ou equação de estado geralmente não é necessária para computar velocidades e campos de pressão (mas atenção em problemas com variação térmica grande). - Em problemas com ondas de choque, ventoinhas, jatos supersônicos, ou quando o próprio enunciado cita variações de densidade ou expansão compressível, use a formulação compressível (equação de continuidade completa + equação de energia + equação de estado).
- Regra prática rápida para a prova: se for líquido ou gás com
e variações de pressão pequenas comparadas à pressão absoluta, trate como incompressível; caso contrário, trate como compressível. - Não esqueça: a escolha é uma aproximação para simplificar cálculos — justifique-a sempre com um cálculo rápido (por ex.: estimativa de
ou cálculo do ).
Resposta
Fluido incompressível: fluido cuja densidade
pode ser considerada aproximadamente constante durante o escoamento, de modo que
e a continuidade reduz-se a
.
Fluido compressível: fluido cuja densidade
varia de forma significativa com pressão e/ou temperatura no processo, exigindo que se use a equação da continuidade completa
juntamente com equação de estado e equação de energia.