O vidro traseiro de um automóvel é desembaçado pela passagem de ar quente sobre a sua superfície interna. Se o ar quente está a \mathrm{T}_{\infty, \mathrm{i}}=40^{\circ} \mathrm{C} e o coeficiente de transferência de calor por convecção correspondente é de h_{i}=30 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}, quais são as temperaturas das superfícies interna e externa do vido, que tem 4 mm de espessura, se a temperatura do ar ambiente externo for \mathrm{T}_{\infty, \mathrm{e}}=10^{\circ} \mathrm{C} e o coeficiente convectivo associado for \mathrm{h}_{\mathrm{e}}=65 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K} ? Dado: Kvidro =1,4 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos.
  • Pedidos: encontrar as temperaturas da superfície interna e da superfície externa do vidro, isto é, T_{s,\mathrm{i}} (lado voltado para o ar quente interior) e T_{s,\mathrm{e}} (lado voltado para o ar ambiente exterior).
  • Dados fornecidos:
    • Temperatura do ar interior: \,T_{\infty,\mathrm{i}}=40^\circ\mathrm{C}.
    • Coeficiente convectivo interior: \,h_{\mathrm{i}}=30\\ \mathrm{W/(m^2K)}.
    • Temperatura do ar exterior: \,T_{\infty,\mathrm{e}}=10^\circ\mathrm{C}.
    • Coeficiente convectivo exterior: \,h_{\mathrm{e}}=65\\ \mathrm{W/(m^2K)}.
    • Espessura do vidro: \,L=4\\ \mathrm{mm}=0{,}004\\ \mathrm{m}.
    • Condutividade térmica do vidro: \,k=1{,}4\\ \mathrm{W/(mK)}.
Observação: vamos trabalhar por unidade de área (ou seja, área A=1\\ \mathrm{m}^2), pois o problema pede temperaturas de superfície — isso simplifica as contas e é procedimento padrão em transferência de calor.

Passo 2

Modelo físico e equações principais (explicação didática).
  • Modelo: regime permanente, fluxo unidimensional através do vidro com convecção em ambas faces. Não há geração de calor interna.
  • Em steady-state, a mesma densidade de fluxo de calor por área (q) passa através das três “resistências térmicas” em série: convecção interior, condução através do vidro e convecção exterior.
  • Representação por resistências térmicas (por unidade de área A=1\\ \mathrm{m}^2):
    • Resistência convectiva interior: \displaystyle R_{\mathrm{conv,i}}=\dfrac{1}{h_{\mathrm{i}}}.
    • Resistência de condução do vidro: \displaystyle R_{\mathrm{cond}}=\dfrac{L}{k}.
    • Resistência convectiva exterior: \displaystyle R_{\mathrm{conv,e}}=\dfrac{1}{h_{\mathrm{e}}}.
  • A queda total de temperatura entre os dois fluidos \,(T_{\infty,\mathrm{i}}-T_{\infty,\mathrm{e}}) é dividida pelas resistências, logo: q=\dfrac{T_{\infty,\mathrm{i}}-T_{\infty,\mathrm{e}}}{R_{\mathrm{conv,i}}+R_{\mathrm{cond}}+R_{\mathrm{conv,e}}}.
  • Depois de obter q, as temperaturas de superfície vêm das leis locais de convecção: T_{s,\mathrm{i}}=T_{\infty,\mathrm{i}}-q\,R_{\mathrm{conv,i}}, \qquad T_{s,\mathrm{e}}=T_{\infty,\mathrm{e}}+q\,R_{\mathrm{conv,e}}.
Explicação rápida do porquê: q=h\,(T_\infty-T_s) => T_s=T_\infty-q/h. Para condução, \,q=k\,(T_{s,\mathrm{i}}-T_{s,\mathrm{e}})/L, o que é equivalente à queda qR_{\mathrm{cond}}.

Passo 3

Calcular as resistências numéricas (por unidade de área).
  • Conversão de espessura: \,L=4\\ \mathrm{mm}=0{,}004\\ \mathrm{m}.
  • Resistência convectiva interior: R_{\mathrm{conv,i}}=\dfrac{1}{h_{\mathrm{i}}}=\dfrac{1}{30}=0{,}033333\\ \mathrm{K/W}.
  • Resistência de condução do vidro: R_{\mathrm{cond}}=\dfrac{L}{k}=\dfrac{0{,}004}{1{,}4}=0{,}002857142857\dots\\ \mathrm{K/W}\\ (\text{que é }1/350).é
  • Resistência convectiva exterior: R_{\mathrm{conv,e}}=\dfrac{1}{h_{\mathrm{e}}}=\dfrac{1}{65}=0{,}015384615385\dots\\ \mathrm{K/W}.

Passo 4

Resistência total e fluxo de calor por unidade de área q.
  • Soma das resistências: R_{\mathrm{tot}}=R_{\mathrm{conv,i}}+R_{\mathrm{cond}}+R_{\mathrm{conv,e}} =0{,}0333333333+0{,}0028571429+0{,}0153846154 =0{,}0515750916\\ \mathrm{K/W}.
  • Diferença entre os fluidos: \Delta T=T_{\infty,\mathrm{i}}-T_{\infty,\mathrm{e}}=40-10=30\\ \mathrm{K}.
  • Fluxo de calor por unidade de área: q=\dfrac{\Delta T}{R_{\mathrm{tot}}}=\dfrac{30}{0{,}0515750916}\approx 581{,}68\\ \mathrm{W/m^2}.
Breve comentário: esse valor é por metro quadrado de vidro; é razoavelmente alto porque as resistências (especialmente a do vidro fino) são pequenas.

Passo 5

Calcular a temperatura da superfície interna T_{s,\mathrm{i}}.
  • Usando a relação convectiva interior: T_{s,\mathrm{i}}=T_{\infty,\mathrm{i}}-q\,R_{\mathrm{conv,i}}.
  • Substituindo números: T_{s,\mathrm{i}}=40^\circ\mathrm{C}-581{,}68\cdot 0{,}0333333 =40^\circ\mathrm{C}-19{,}389\approx 20{,}61^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Calcular a temperatura da superfície externa T_{s,\mathrm{e}}.
  • Usando a relação convectiva exterior: T_{s,\mathrm{e}}=T_{\infty,\mathrm{e}}+q\,R_{\mathrm{conv,e}}.
  • Substituindo números: T_{s,\mathrm{e}}=10^\circ\mathrm{C}+581{,}68\cdot 0{,}0153846154 =10^\circ\mathrm{C}+8{,}948\approx 18{,}95^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Verificação rápida de consistência (checar a queda de temperatura pela condução).
  • Queda através do vidro prevista por condução: \Delta T_{\mathrm{cond}}=q\,R_{\mathrm{cond}}=581{,}68\cdot 0{,}002857142857\approx 1{,}66^\circ\mathrm{C}.
  • Diferença entre superfícies calculadas: T_{s,\mathrm{i}}-T_{s,\mathrm{e}}\approx 20{,}61-18{,}95=1{,}66^\circ\mathrm{C},que coincide com \Delta T_{\mathrm{cond}}. Ótimo — as contas fecham.

Resposta

T_{s,\mathrm{i}}\approx 20{,}61^\circ\mathrm{C}
T_{s,\mathrm{e}}\approx 18{,}95^\circ\mathrm{C}

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