Quando um degrau unitário de tensão
é aplicado a um determinado sistema linear inicialmente em repouso, a resposta desse sistema é:
.
Quais os polos e zeros desse sistema? No caso da resposta em frequência, qual a frequência (
) que corresponde a um ângulo de fase de
?
Quais os polos e zeros desse sistema? No caso da resposta em frequência, qual a frequência (
Passo 1
O enunciado dá a resposta ao degrau unitário (sistema causal, inicialmente em repouso):
As perguntas são:
- Quais os polos e zeros do sistema (i.e. da função de transferência
)? - Na resposta em frequência
, para que frequência o ângulo de fase é ?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O sinal de entrada foi um degrau unitário
(i.e. para ). - A resposta ao degrau
está dada explicitamente como soma de dois expoentes decrescentes. - O sistema é linear e inicialmente em repouso (permite usar a transformada de Laplace diretamente e relacionar resposta ao degrau com
).
Passo 2
Ligando resposta ao degrau com a função de transferência (aula rápida e prática).
- Para um sistema linear causal, inicialmente em repouso, a transformada de Laplace da saída ao degrau é
pois a transformada do degrau unitário é
. Portanto
Agora calculamos a transformada de Laplace de
. Regra básica:
(para
). Aplicando termo a termo:
Multiplicando por
para obter
:
Faço a álgebra passo a passo para simplificar (isto é útil na prova):
No numerador fatora-se
:
Portanto
Interpretação e definição (curtinha):
- Polos são os valores de
que anulam o denominador de (e tornam infinita). - Zeros são os valores de
que anulam o numerador de (onde a resposta em frequência fica zero).
Da forma obtida, os polos e zeros são imediatamente lidos.
Passo 3
Determinação explícita dos polos e zeros (resultado direto).
- Zeros: raízes do numerador
→ e . - Polos: raízes do denominador
→ e .
(Comentário breve e amigo: o zero em
significa que a função de transferência anula o ganho em
; por isso a resposta final a um degrau foi zero — as exponenciais decaem a zero.)
Passo 4
Passando para a resposta em frequência e fase (aula prática sobre fase).
- A resposta em frequência é obtida substituindo
:
- O ângulo de fase
é o argumento (argumento complexo) de . Podemos escrevê-lo como soma e diferenças de argumentos:
- Para
vale (ângulo em graus se usarmos arctan em graus). Além disso para . Assim:
Observações úteis para resolver a equação:
- Em
tem-se . - Quando
, cada , então .
Logodecresce de para e em algum ponto cruzará . Portanto existe uma tal que .
Passo 5
Equacionando e resolvendo para
(passo a passo algébrico).
Queremos . Escrevo a igualdade:
Queremos
Subtraindo
de ambos os lados:
Vou usar a identidade de diferença de arctangentes:
válida cuidando do ramo, mas aqui
e termos positivos, procedemos com atenção. Primeiro combine as duas primeiras arctangentes:
Simplificando numerador e denominador:
Então, chamando esse valor de
, temos
Agora a equação original torna-se (usando
). Aplicando a fórmula de diferença novamente e tomando a tangente dos dois lados:
Isto implica (multiplicando):
Rearranjando:
Portanto
Lembrando que
, igualamos:
Multiplicando ambos lados por
e simplificando obtemos (passos de multiplicação e cancelamento mostrados para a prova):
Expandindo:
Os termos
cancelam em ambos os lados, restando
Rearranjando:
Agora resolvemos numericamente essa equação cúbica para
. Testando valores:
- Para
: (negativo). - Para
: (positivo).
Então existe uma raiz entree . Fazendo uma aproximação numérica (bissecção/interpolação rápida) encontra-se
(Detalhe do ajuste: valores testados e interpolação linear dão
; arredondei para três casas significativas.)
Passo 6
Resumo interpretativo rápido (pra te dar segurança antes da resposta final):
- A função de transferência foi obtida diretamente da transformada do passo: isso é uma técnica padrão quando se tem a resposta ao degrau.
- Polos vêm do denominador; zeros do numerador. Aqui deu uma forma fatorada simples.
- Para achar frequência onde a fase vale um dado ângulo usa-se
e relações de argumentos (arctan). Combinar arctan e usar identidades leva a uma equação algébrica que, neste caso, virou uma cúbica resolvida numericamente.
Resposta
Polos:
e
Zeros: e
Frequência para ângulo de fase :
Zeros:
Frequência para ângulo de fase