Quando um degrau unitário de tensão v(t)=h(t) é aplicado a um determinado sistema linear inicialmente em repouso, a resposta desse sistema é:
y(t)=1,8 e^{-4 t}-0,8 e^{-9 t}.
Quais os polos e zeros desse sistema? No caso da resposta em frequência, qual a frequência ( \omega ) que corresponde a um ângulo de fase de 45^{\circ} ?

Passo 1

O enunciado dá a resposta ao degrau unitário (sistema causal, inicialmente em repouso):
y(t)=1{,}8\,e^{-4t}-0{,}8\,e^{-9t},\qquad t\ge0.
As perguntas são:
  • Quais os polos e zeros do sistema (i.e. da função de transferência G(s))?
  • Na resposta em frequência G(j\omega), para que frequência \omega o ângulo de fase é 45^\circ?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O sinal de entrada foi um degrau unitário v(t)=h(t) (i.e. 1 para t\ge0).
  • A resposta ao degrau y(t) está dada explicitamente como soma de dois expoentes decrescentes.
  • O sistema é linear e inicialmente em repouso (permite usar a transformada de Laplace diretamente e relacionar resposta ao degrau com G(s)).

Passo 2

Ligando resposta ao degrau com a função de transferência (aula rápida e prática).
  • Para um sistema linear causal, inicialmente em repouso, a transformada de Laplace da saída ao degrau é
Y_{\text{deg}}(s)=G(s)\cdot\frac{1}{s},
pois a transformada do degrau unitário é 1/s. Portanto
G(s)=s\;Y_{\text{deg}}(s).
Agora calculamos a transformada de Laplace de y(t). Regra básica: \mathcal{L}\{e^{-a t}\}=\dfrac{1}{s+a} (para \Re(s)>-a). Aplicando termo a termo:
Y_{\text{deg}}(s)=\frac{1{,}8}{s+4}-\frac{0{,}8}{s+9}.
Multiplicando por s para obter G(s):
G(s)=s\!\left(\frac{1{,}8}{s+4}-\frac{0{,}8}{s+9}\right).
Faço a álgebra passo a passo para simplificar (isto é útil na prova):
G(s)=\frac{1{,}8\,s}{s+4}-\frac{0{,}8\,s}{s+9} =\frac{1{,}8\,s(s+9)-0{,}8\,s(s+4)}{(s+4)(s+9)}.
No numerador fatora-se s:
\text{num}=s\big(1{,}8(s+9)-0{,}8(s+4)\big) =s\big(1{,}8s+16{,}2-0{,}8s-3{,}2\big) =s\big(1{,}0s+13{,}0\big) =s(s+13).
Portanto
G(s)=\frac{s(s+13)}{(s+4)(s+9)}.
Interpretação e definição (curtinha):
  • Polos são os valores de s que anulam o denominador de G(s) (e tornam G(s) infinita).
  • Zeros são os valores de s que anulam o numerador de G(s) (onde a resposta em frequência fica zero).
Da forma obtida, os polos e zeros são imediatamente lidos.

Passo 3

Determinação explícita dos polos e zeros (resultado direto).
  • Zeros: raízes do numerador s(s+13)=0 s=0 e s=-13.
  • Polos: raízes do denominador (s+4)(s+9)=0 s=-4 e s=-9.
(Comentário breve e amigo: o zero em s=0 significa que a função de transferência anula o ganho em \omega=0; por isso a resposta final a um degrau foi zero — as exponenciais decaem a zero.)

Passo 4

Passando para a resposta em frequência e fase (aula prática sobre fase).
  • A resposta em frequência é obtida substituindo s=j\omega:
G(j\omega)=\frac{j\omega\,(j\omega+13)}{(j\omega+4)(j\omega+9)}.
  • O ângulo de fase \theta(\omega) é o argumento (argumento complexo) de G(j\omega). Podemos escrevê-lo como soma e diferenças de argumentos:
\theta(\omega)=\arg(j\omega)+\arg(j\omega+13)-\arg(j\omega+4)-\arg(j\omega+9).
  • Para a>0 vale \arg(a+j\omega)=\arctan\!\big(\dfrac{\omega}{a}\big) (ângulo em graus se usarmos arctan em graus). Além disso \arg(j\omega)=90^\circ para \omega>0. Assim:
\theta(\omega)=90^\circ+\arctan\!\big(\tfrac{\omega}{13}\big)-\arctan\!\big(\tfrac{\omega}{4}\big)-\arctan\!\big(\tfrac{\omega}{9}\big).
Observações úteis para resolver a equação:
  • Em \omega=0 tem-se \theta(0)=90^\circ.
  • Quando \omega\to\infty, cada \arctan(\omega/a)\to90^\circ, então \theta(\infty)=90+90-90-90=0^\circ.
    Logo \theta(\omega) decresce de 90^\circ para 0^\circ e em algum ponto cruzará 45^\circ. Portanto existe uma \omega>0 tal que \theta(\omega)=45^\circ.

Passo 5

Equacionando e resolvendo para \omega (passo a passo algébrico).
Queremos \theta(\omega)=45^\circ. Escrevo a igualdade:
90^\circ+\arctan\!\big(\tfrac{\omega}{13}\big)-\arctan\!\big(\tfrac{\omega}{4}\big)-\arctan\!\big(\tfrac{\omega}{9}\big)=45^\circ.
Subtraindo 90^\circ de ambos os lados:
\arctan\!\big(\tfrac{\omega}{13}\big)-\arctan\!\big(\tfrac{\omega}{4}\big)-\arctan\!\big(\tfrac{\omega}{9}\big)=-45^\circ.
Vou usar a identidade de diferença de arctangentes:
\arctan A-\arctan B=\arctan\!\left(\frac{A-B}{1+AB}\right),
válida cuidando do ramo, mas aqui \omega\ge0 e termos positivos, procedemos com atenção. Primeiro combine as duas primeiras arctangentes:
\arctan\!\big(\tfrac{\omega}{13}\big)-\arctan\!\big(\tfrac{\omega}{4}\big) =\arctan\!\left(\frac{\tfrac{\omega}{13}-\tfrac{\omega}{4}}{1+\tfrac{\omega^2}{13\cdot4}}\right).
Simplificando numerador e denominador:
\frac{\tfrac{\omega}{13}-\tfrac{\omega}{4}}{1+\tfrac{\omega^2}{52}} =\frac{\omega\big(\tfrac{1}{13}-\tfrac{1}{4}\big)}{1+\tfrac{\omega^2}{52}} =\frac{\omega\big(-\tfrac{9}{52}\big)}{\dfrac{52+\omega^2}{52}} =\frac{-9\omega}{52+\omega^2}.
Então, chamando esse valor de U, temos
U=\tan\!\Big(\arctan\!\big(\tfrac{\omega}{13}\big)-\arctan\!\big(\tfrac{\omega}{4}\big)\Big)=\frac{-9\omega}{52+\omega^2}.
Agora a equação original torna-se (usando \arctan U-\arctan(\tfrac{\omega}{9})=-45^\circ). Aplicando a fórmula de diferença novamente e tomando a tangente dos dois lados:
\frac{U-\tfrac{\omega}{9}}{1+U\cdot\tfrac{\omega}{9}}=\tan(-45^\circ)=-1.
Isto implica (multiplicando):
U-\tfrac{\omega}{9}=-1-\tfrac{U\omega}{9}.
Rearranjando:
U\left(1+\tfrac{\omega}{9}\right)=-1+\tfrac{\omega}{9}.
Portanto
U=\frac{-1+\tfrac{\omega}{9}}{1+\tfrac{\omega}{9}}=\frac{\omega-9}{\omega+9}.
Lembrando que U=\dfrac{-9\omega}{52+\omega^2}, igualamos:
\frac{-9\omega}{52+\omega^2}=\frac{\omega-9}{\omega+9}.
Multiplicando ambos lados por (52+\omega^2)(\omega+9) e simplificando obtemos (passos de multiplicação e cancelamento mostrados para a prova):
-9\omega(\omega+9)=(\omega-9)(52+\omega^2).
Expandindo:
-9\omega^2-81\omega=\omega^3+52\omega-9\omega^2-468.
Os termos -9\omega^2 cancelam em ambos os lados, restando
-81\omega=\omega^3+52\omega-468.
Rearranjando:
\omega^3+133\omega-468=0.
Agora resolvemos numericamente essa equação cúbica para \omega>0. Testando valores:
  • Para \omega=3: 27+399-468=-42 (negativo).
  • Para \omega=4: 64+532-468=128 (positivo).
    Então existe uma raiz entre 3 e 4. Fazendo uma aproximação numérica (bissecção/interpolação rápida) encontra-se
\omega\approx 3{,}259\\ \text{rad/s}.
(Detalhe do ajuste: valores testados e interpolação linear dão \omega\approx3{,}2586; arredondei para três casas significativas.)

Passo 6

Resumo interpretativo rápido (pra te dar segurança antes da resposta final):
  • A função de transferência foi obtida diretamente da transformada do passo: isso é uma técnica padrão quando se tem a resposta ao degrau.
  • Polos vêm do denominador; zeros do numerador. Aqui deu uma forma fatorada simples.
  • Para achar frequência onde a fase vale um dado ângulo usa-se s=j\omega e relações de argumentos (arctan). Combinar arctan e usar identidades leva a uma equação algébrica que, neste caso, virou uma cúbica resolvida numericamente.

Resposta

Polos: s=-4 e s=-9
Zeros: s=0 e s=-13
Frequência para ângulo de fase 45^\circ: \omega\approx 3{,}259\\ \text{rad/s}

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