Calcule a resposta em regime permanente do sistema indicado a seguir, à entrada senoidal u(t)= 10 \operatorname{sen}\left(4 t+30^{\circ}\right).
G_{a}(s)=\frac{2.000 s}{(s+0,5)\left(s^{2}+54 s+200\right)}

Passo 1

O enunciado pede a resposta em regime permanente (resposta estacionária) do sistema linear com função de transferência
G_{a}(s)=\frac{2{,}000\,s}{(s+0{,}5)\left(s^{2}+54s+200\right)}
quando a entrada é a senóide
u(t)=10\sin\!\left(4t+30^\circ\right).
Informações fornecidas:
  • A função de transferência G_{a}(s) e sua expressão explícita (peguei todos os coeficientes do enunciado).
  • A entrada é uma senóide de amplitude 10, frequência angular \omega=4 (rad/s) e fase inicial 30^\circ.
O que o problema pede:
  • Calcular a saída y(t) em regime permanente (ou seja, o sinal senoidal que permanece depois dos transientes decaírem).

Passo 2

Princípio físico/matemático que vamos usar (explicação didática):
Quando um sistema linear e invariável no tempo (LTI) é excitado por uma entrada senoidal \;u(t)=A\sin(\omega t+\varphi)\;, a resposta em regime permanente é também uma senóide na mesma frequência \omega, com amplitude escalada pelo ganho em j\omega e fase deslocada pela fase de G(j\omega). Em fórmula:
y_{ss}(t)=A\,\bigl|G(j\omega)\bigr|\,\sin\!\bigl(\omega t+\varphi+\angle G(j\omega)\bigr).
Aqui:
  • A é a amplitude da entrada ( A=10);
  • \omega é a frequência angular da entrada ( \omega=4);
  • \varphi é a fase inicial da entrada ( \varphi=30^\circ);
  • G(j\omega) é a função de transferência avaliada em s=j\omega;
  • \bigl|G(j\omega)\bigr| é o módulo (ganho) de G na frequência \omega;
  • \angle G(j\omega) é a fase (ângulo) de G na frequência \omega.
Vamos portanto calcular G(j4), seu módulo e sua fase, e aplicar a fórmula acima.

Passo 3

Avaliar G_a(s) em s=j\omega com \omega=4. Substituindo s=j4 na expressão:
G_{a}(j4)=\frac{2{,}000\,(j4)}{(j4+0{,}5)\bigl((j4)^{2}+54(j4)+200\bigr)}.
Primeiro simplificar termos conhecidos:
\text{numerador} = 2{,}000\cdot j4 = j\;8{,}000.
Calcule o segundo fator do denominador:
(j4)^2 = -16, \qquad 54(j4)=j216,
logo
(j4)^2+54(j4)+200 = -16 + j216 +200 = 184 + j216.
O primeiro fator do denominador é
j4+0{,}5 = 0{,}5 + j4.
Portanto o denominador é o produto
(0{,}5 + j4)(184 + j216).

Passo 4

Multiplicar os dois complexos do denominador (fazendo passo a passo):
Se a=0{,}5, b=4, c=184, d=216, então
(a+bj)(c+dj)=(ac-bd)+j(ad+bc).
Calcule:
ac = 0{,}5\cdot184 = 92, \qquad bd = 4\cdot216 = 864,
ad = 0{,}5\cdot216 = 108, \qquad bc = 4\cdot184 = 736.
Logo
(0{,}5 + j4)(184 + j216)=(92-864)+j(108+736) = -772 + j844.
Portanto
G_{a}(j4)=\frac{j\;8{,}000}{-772 + j844}.

Passo 5

Fazer a divisão de números complexos para obter a parte real e imaginária de G_{a}(j4). Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador:
G_{a}(j4)=\frac{j\;8{,}000}{-772 + j844} =\frac{j\;8{,}000\;(-772 - j844)}{(-772)^2 + 844^2}.
Calcule numerador expandido (passo a passo):
j\;8{,}000\;(-772 - j844) = j\;8{,}000(-772) + j\;8{,}000(-j844).
Usando j\cdot(-j)= -j^2 = 1, obtemos
j\;8{,}000(-772) = -6{,}176{,}000\,j, \qquad j\;8{,}000(-j844)= +8{,}000\cdot844 = 6{,}752{,}000.
Portanto o numerador complexo é
6{,}752{,}000 - j\,6{,}176{,}000.
Denominador (módulo ao quadrado):
(-772)^2 + 844^2 = 772^2 + 844^2 = 1{,}308{,}320.
Dividindo ambos os termos por esse valor:
G_{a}(j4)=\frac{6{,}752{,}000}{1{,}308{,}320} - j\frac{6{,}176{,}000}{1{,}308{,}320}.
Simplificando (dividindo por 1{,}000{,}000 para ter ordem):
G_{a}(j4)\approx 0{,}0051616 - j\,0{,}0047199.

Passo 6

Calcular módulo e fase de G_{a}(j4).
Módulo:
\bigl|G_{a}(j4)\bigr| =\sqrt{(0{,}0051616)^2 + (-0{,}0047199)^2} \approx 0{,}006994.
Fase (ângulo):
\angle G_{a}(j4)=\operatorname{atan2}\!\bigl(\Im\{G\},\Re\{G\}\bigr) =\operatorname{atan2}\bigl(-0{,}0047199,\;0{,}0051616\bigr).
Calcule a tangente absoluta:
\left|\frac{\Im}{\Re}\right| \approx \frac{0{,}0047199}{0{,}0051616} \approx 0{,}9149,
portanto o ângulo correspondente é aproximadamente 42{,}3^\circ. Como a parte imaginária é negativa e a real é positiva, o ângulo é
\angle G_{a}(j4) \approx -42{,}3^\circ.
(Verificação alternativa mental: o numerador j8{,}000 tem fase +90^\circ; o denominador -772 + j844 tem fase \approx 132{,}3^\circ — então 90^\circ-132{,}3^\circ=-42{,}3^\circ, consistente.)

Passo 7

Construir a resposta em regime permanente usando a fórmula do Passo 2:
Amplitude de saída = A\cdot |G(j\omega)| = 10\cdot 0{,}006994 \approx 0{,}06994.
Fase final = \varphi + \angle G(j\omega) = 30^\circ + (-42{,}3^\circ) = -12{,}3^\circ.
Portanto a resposta em regime permanente é
y_{ss}(t)=0{,}06994\;\sin\!\bigl(4t - 12{,}3^\circ\bigr).

Resposta

y_{ss}(t)=0{,}06994\sin\!\bigl(4t-12{,}3^\circ\bigr)

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