A função de transferência G_{a}(s) e sua expressão explícita (peguei todos os coeficientes do enunciado).
A entrada é uma senóide de amplitude 10, frequência angular \omega=4 (rad/s) e fase inicial 30^\circ.
O que o problema pede:
Calcular a saída y(t) em regime permanente (ou seja, o sinal senoidal que permanece depois dos transientes decaírem).
Passo 2
Princípio físico/matemático que vamos usar (explicação didática):
Quando um sistema linear e invariável no tempo (LTI) é excitado por uma entrada senoidal \;u(t)=A\sin(\omega t+\varphi)\;, a resposta em regime permanente é também uma senóide na mesma frequência \omega, com amplitude escalada pelo ganho em j\omega e fase deslocada pela fase de G(j\omega). Em fórmula:
Fazer a divisão de números complexos para obter a parte real e imaginária de G_{a}(j4). Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador:
portanto o ângulo correspondente é aproximadamente 42{,}3^\circ. Como a parte imaginária é negativa e a real é positiva, o ângulo é
\angle G_{a}(j4) \approx -42{,}3^\circ.
(Verificação alternativa mental: o numerador j8{,}000 tem fase +90^\circ; o denominador -772 + j844 tem fase \approx 132{,}3^\circ — então 90^\circ-132{,}3^\circ=-42{,}3^\circ, consistente.)
Passo 7
Construir a resposta em regime permanente usando a fórmula do Passo 2:
Amplitude de saída = A\cdot |G(j\omega)| = 10\cdot 0{,}006994 \approx 0{,}06994.
Fase final = \varphi + \angle G(j\omega) = 30^\circ + (-42{,}3^\circ) = -12{,}3^\circ.