(deGroot) Suponha que, em um grande lote contendo
itens manufaturados,
itens sejam defeituosos e
não defeituosos. Suponha também que 10 itens sejam selecionados aleatoriamente sem reposição do lote.
Determine:
(a) Uma expressão exata para a probabilidade de que no máximo 1 item defeituoso seja obtido como função de
.
(b) Uma expressão aproximada para essa probabilidade.
(a) Uma expressão exata para a probabilidade de que no máximo 1 item defeituoso seja obtido como função de
(b) Uma expressão aproximada para essa probabilidade.
Passo 1
O enunciado e os dados relevantes são estes (assumir que
e
são inteiros; se não for o caso usar o piso/parte inteira adequada):
- Há um lote com
itens. - Fração de itens defeituosos:
. Logo o número de itens defeituosos no lote é . - Fração de itens não defeituosos:
. Logo o número de itens não defeituosos no lote é . - Selecionam-se
itens aleatoriamente sem reposição.
O que o enunciado pede:
(a) Uma expressão exata, em função de, para a probabilidade de que no máximo 1 item defeituoso seja obtido (ou seja, onde é o número de defeituosos na amostra de 10).
(b) Uma expressão aproximada para essa mesma probabilidade (uma aproximação que se use em provas quandoé grande).
Passo 2
Por que usar uma expressão exata do tipo combinatório? Quando se faz amostragem sem reposição de uma população finita, o número de sucessos (aqui: defeituosos) na amostra segue a distribuição hipergeométrica. Vou definir variáveis e escrever a fórmula da hipergeométrica, explicando cada termo.
- Defina
como o número total de itens defeituosos no lote. - Defina
como o número total de itens não defeituosos no lote. - Tamanho da amostra:
.
A razão combinatória por trás da hipergeométrica é: para obter exatamentedefeituosos na amostra, escolhemos entre os defeituosos e escolhemos entre os não defeituosos; o total de amostras possíveis (equiprováveis) é . Assim a probabilidade exata para é
Explicando os símbolos:
-
é “a escolhe b”, o número de subconjuntos de tamanho que se podem formar a partir de objetos. -
é o número de defeituosos disponíveis; é o número de não defeituosos; . - O denominador
é o total de amostras sem reposição de tamanho .
Passo 3
Agora escrevo a expressão exata pedida (probabilidade de no máximo 1 defeituoso = soma das probabilidades de 0 e 1 defeituoso). Substituindo
,
e
na fórmula, obtemos:
Isso é a expressão exata em função de
. (Interpretação rápida: o primeiro termo conta todas as amostras de 10 sem nenhum defeituoso; o segundo termo conta todas as amostras com exatamente 1 defeituoso.)
Passo 4
Agora a aproximação prática. Regra geral: quando a amostra é pequena em relação ao total (amostragem fracional pequena), a hipergeométrica é bem aproximada por uma binomial com parâmetros
(tamanho da amostra) e
(proporção de defeituosos na população). Aqui
e
. O motivo rápido: sem reposição, as probabilidades mudam pouco de um sorteio para outro se
; então os sorteios são quase independentes com probabilidade quase constante
.
A distribuição aproximante é
, cuja probabilidade de obter exatamente
sucessos é
Portanto, a aproximação para
é
Substituindo
,
Se quiser um valor numérico rápido (útil na prova para comparar opções), calcule:
logo
Passo 5
Observações práticas para a prova (como decidir qual usar e como calcular sem calculadora):
- Use a expressão exata hipergeométrica quando
não for grande ou quando o enunciado pedir explicitamente em função de . A resposta exata é a do Passo 3. - Use a aproximação binomial quando
for grande comparado a . Uma regra prática comum: se (ou seja, ), a aproximação costuma ser muito boa. - Se quiser verificar quão boa é a aproximação, compare as variâncias:
A correção (fator de população finita) aproxima-se de quando é grande, justificando a aproximação. - Em prova sem calculadora, para resposta aproximada apresente a forma fechada
e, se necessário, faça uma estimativa numérica como (duas casas significativas).
Resposta
(a)
\n
(b)
(b)