(deGroot) Suponha que, em um grande lote contendo T itens manufaturados, 30 \% itens sejam defeituosos e 70 \% não defeituosos. Suponha também que 10 itens sejam selecionados aleatoriamente sem reposição do lote.
Determine:
(a) Uma expressão exata para a probabilidade de que no máximo 1 item defeituoso seja obtido como função de T.
(b) Uma expressão aproximada para essa probabilidade.

Passo 1

O enunciado e os dados relevantes são estes (assumir que 0,3T e 0,7T são inteiros; se não for o caso usar o piso/parte inteira adequada):
  • Há um lote com T itens.
  • Fração de itens defeituosos: 30\%. Logo o número de itens defeituosos no lote é 0,3T.
  • Fração de itens não defeituosos: 70\%. Logo o número de itens não defeituosos no lote é 0,7T.
  • Selecionam-se 10 itens aleatoriamente sem reposição.
    O que o enunciado pede:
    (a) Uma expressão exata, em função de T, para a probabilidade de que no máximo 1 item defeituoso seja obtido (ou seja, P(X\le 1) onde X é o número de defeituosos na amostra de 10).
    (b) Uma expressão aproximada para essa mesma probabilidade (uma aproximação que se use em provas quando T é grande).

Passo 2

Por que usar uma expressão exata do tipo combinatório? Quando se faz amostragem sem reposição de uma população finita, o número de sucessos (aqui: defeituosos) na amostra segue a distribuição hipergeométrica. Vou definir variáveis e escrever a fórmula da hipergeométrica, explicando cada termo.
  • Defina D = 0,3T como o número total de itens defeituosos no lote.
  • Defina N = 0,7T como o número total de itens não defeituosos no lote.
  • Tamanho da amostra: n=10.
    A razão combinatória por trás da hipergeométrica é: para obter exatamente k defeituosos na amostra, escolhemos k entre os D defeituosos e escolhemos n-k entre os N não defeituosos; o total de amostras possíveis (equiprováveis) é \binom{T}{n}. Assim a probabilidade exata para X=k é
P(X=k)=\frac{\binom{D}{k}\,\binom{N}{\,n-k\,}}{\binom{T}{n}}.
Explicando os símbolos:
  • \binom{a}{b} é “a escolhe b”, o número de subconjuntos de tamanho b que se podem formar a partir de a objetos.
  • D é o número de defeituosos disponíveis; N é o número de não defeituosos; T=D+N.
  • O denominador \binom{T}{n} é o total de amostras sem reposição de tamanho n.

Passo 3

Agora escrevo a expressão exata pedida (probabilidade de no máximo 1 defeituoso = soma das probabilidades de 0 e 1 defeituoso). Substituindo D=0,3T, N=0,7T e n=10 na fórmula, obtemos:
P(X\le 1)=P(X=0)+P(X=1) =\frac{\binom{0,7T}{10}}{\binom{T}{10}} +\frac{\binom{0,3T}{1}\,\binom{0,7T}{9}}{\binom{T}{10}}.
Isso é a expressão exata em função de T. (Interpretação rápida: o primeiro termo conta todas as amostras de 10 sem nenhum defeituoso; o segundo termo conta todas as amostras com exatamente 1 defeituoso.)

Passo 4

Agora a aproximação prática. Regra geral: quando a amostra é pequena em relação ao total (amostragem fracional pequena), a hipergeométrica é bem aproximada por uma binomial com parâmetros n (tamanho da amostra) e p (proporção de defeituosos na população). Aqui p=0,3 e n=10. O motivo rápido: sem reposição, as probabilidades mudam pouco de um sorteio para outro se n\ll T; então os sorteios são quase independentes com probabilidade quase constante p.
A distribuição aproximante é X\approx\text{Binomial}(n=10,p=0,3), cuja probabilidade de obter exatamente k sucessos é
P_{\text{bin}}(X=k)=\binom{10}{k}\,p^{k}(1-p)^{10-k}.
Portanto, a aproximação para P(X\le 1) é
P(X\le 1)\approx (1-p)^{10} + \binom{10}{1} p (1-p)^{9}.
Substituindo p=0,3,
P(X\le 1)\approx (0,7)^{10} + 10\cdot 0,3\cdot (0,7)^{9}.
Se quiser um valor numérico rápido (útil na prova para comparar opções), calcule:
(0,7)^{10}\approx 0,0282475,\qquad 10\cdot0,3\cdot(0,7)^{9}\approx 0,1210608,
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P(X\le 1)\approx 0,149308\\ (\text{aprox. }0,1493).

Passo 5

Observações práticas para a prova (como decidir qual usar e como calcular sem calculadora):
  • Use a expressão exata hipergeométrica quando T não for grande ou quando o enunciado pedir explicitamente em função de T. A resposta exata é a do Passo 3.
  • Use a aproximação binomial quando T for grande comparado a n=10. Uma regra prática comum: se n/T\le 0,05 (ou seja, T\ge 200), a aproximação costuma ser muito boa.
  • Se quiser verificar quão boa é a aproximação, compare as variâncias: \text{Var}_{\text{hip}}(X)=n p(1-p)\frac{T-n}{T-1},\qquad \text{Var}_{\text{bin}}(X)=n p(1-p).A correção \dfrac{T-n}{T-1} (fator de população finita) aproxima-se de 1 quando T é grande, justificando a aproximação.
  • Em prova sem calculadora, para resposta aproximada apresente a forma fechada (0,7)^{10}+10\cdot0,3\cdot(0,7)^{9} e, se necessário, faça uma estimativa numérica como 0,15 (duas casas significativas).

Resposta

(a) \displaystyle P(X\le 1)=\frac{\binom{0,7T}{10}}{\binom{T}{10}}+\frac{\binom{0,3T}{1}\,\binom{0,7T}{9}}{\binom{T}{10}}\n
(b) \displaystyle P(X\le 1)\approx(0,7)^{10}+10\cdot0,3\cdot(0,7)^{9}\approx0,1493

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