(deGroot adaptado) Suponha que a proporção de pessoas daltônicas em uma certa população seja 0,005 . Qual é a probabilidade de que haja pelo menos uma pessoa daltônica em um grupo de 600 pessoas selecionadas aleatoriamente?

Passo 1

O enunciado fornece:
  • A proporção (probabilidade) de uma pessoa ser daltônica é \,p=0,005\,.
  • O tamanho do grupo é \,n=600\,.
    A pergunta é: qual a probabilidade de que haja pelo menos uma pessoa daltônica no grupo de 600 pessoas selecionadas aleatoriamente?

Passo 2

Modelagem e fórmula básica.
  • Seja X a variável aleatória que conta o número de daltônicos no grupo. Como cada pessoa tem probabilidade p de ser daltônica, independentemente das outras, temos
X \sim \mathrm{Bin}(n,p),
onde n é o número de ensaios (pessoas) e p é a probabilidade de sucesso (ser daltônico) em cada ensaio.
  • A probabilidade pedida é P(X\ge 1). É muito mais simples usar a regra do complemento:
P(X\ge 1)=1-P(X=0).
  • A probabilidade de não haver nenhum daltônico (ou seja, X=0) é
P(X=0)=(1-p)^n.
Portanto a resposta exata em forma fechada é
P(X\ge 1)=1-(1-p)^n = 1-(1-0,005)^{600} = 1-0,995^{600}.

Passo 3

Como calcular numericamente 0,995^{600} sem calculadora (estratégia prática para prova).
  • Use a relação com logaritmo natural:
0,995^{600}=\exp\bigl(600\ln(0,995)\bigr).
  • Para \ln(0,995) podemos usar a expansão para \ln(1-x) com x=0,005:
\ln(1-x) = -x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-\cdots.
Tomando os primeiros termos (suficientes aqui):
\ln(0,995)=\ln(1-0,005)\approx -0,005-\frac{(0,005)^2}{2}-\frac{(0,005)^3}{3}.
Calcule termo a termo:
-0,005=-0,005000000, \qquad -\frac{(0,005)^2}{2}=-0,000012500, \qquad -\frac{(0,005)^3}{3}\approx -0,0000000417.
Somando:
\ln(0,995)\approx -0,0050125209.
Multiplicando por 600:
600\ln(0,995)\approx -3,0075125156.
Agora exponencie: escreva
0,995^{600}=\mathrm{e}^{-3,0075125156}=\mathrm{e}^{-3}\,\mathrm{e}^{-0,0075125156}.
Sabendo \mathrm{e}^{-3}\approx 0,04978706837 e aproximando \mathrm{e}^{-0,0075125} por sua série:
\mathrm{e}^{-0,0075125}\approx 1-0,0075125+\frac{(0,0075125)^2}{2}\approx 0,99251563,
multiplicando,
0,995^{600}\approx 0,04978706837\times 0,99251563 \approx 0,049414265.
  • Finalmente
P(X\ge 1)=1-0,995^{600}\approx 1-0,049414265 \approx 0,950585735.

Passo 4

Uma alternativa rápida e muito usada em prova: a aproximação de Poisson. Quando n é grande e p é pequeno, X\sim\mathrm{Bin}(n,p) pode ser aproximada por Y\sim\mathrm{Pois}(\lambda) com \lambda=np.
  • Aqui \lambda=np=600\times 0,005=3.
  • Então P(X\ge1)\approx P(Y\ge1)=1-P(Y=0)=1-\mathrm{e}^{-\lambda}=1-\mathrm{e}^{-3}\approx 1-0,0497870684\approx 0,9502129316. Essa aproximação dá um valor muito próximo ao exato (diferença de poucas unidades em \(10^{-4}), e pode ser usada quando não se quer calcular potências longas.)

Passo 5

Interpretação final e incentivo.
  • A probabilidade de haver pelo menos uma pessoa daltônica entre 600 é muito alta, cerca de 95\%. Isso faz sentido porque a esperança é np=3 daltônicos em média, então é bastante provável que apareça pelo menos um.
  • Bom trabalho chegando até aqui — você já aprendeu duas formas (complemento binomial exato e aproximação de Poisson) e como aproximar potências usando logaritmos em provas. Força nos estudos!

Resposta

0,950585735

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