(deGroot adaptado) Suponha que a proporção de pessoas daltônicas em uma certa população seja 0,005 . Qual é a probabilidade de que haja pelo menos uma pessoa daltônica em um grupo de 600 pessoas selecionadas aleatoriamente?
Passo 1
O enunciado fornece:
- A proporção (probabilidade) de uma pessoa ser daltônica é
. - O tamanho do grupo é
.
A pergunta é: qual a probabilidade de que haja pelo menos uma pessoa daltônica no grupo de 600 pessoas selecionadas aleatoriamente?
Passo 2
Modelagem e fórmula básica.
- Seja
a variável aleatória que conta o número de daltônicos no grupo. Como cada pessoa tem probabilidade de ser daltônica, independentemente das outras, temos
onde
é o número de ensaios (pessoas) e
é a probabilidade de sucesso (ser daltônico) em cada ensaio.
- A probabilidade pedida é
. É muito mais simples usar a regra do complemento:
- A probabilidade de não haver nenhum daltônico (ou seja,
) é
Portanto a resposta exata em forma fechada é
Passo 3
Como calcular numericamente
sem calculadora (estratégia prática para prova).
- Use a relação com logaritmo natural:
- Para
podemos usar a expansão para com :
Tomando os primeiros termos (suficientes aqui):
Calcule termo a termo:
Somando:
Multiplicando por
:
Agora exponencie: escreva
Sabendo
e aproximando
por sua série:
multiplicando,
- Finalmente
Passo 4
Uma alternativa rápida e muito usada em prova: a aproximação de Poisson. Quando
é grande e
é pequeno,
pode ser aproximada por
com
.
- Aqui
. - Então ), e pode ser usada quando não se quer calcular potências longas.)
Passo 5
Interpretação final e incentivo.
- A probabilidade de haver pelo menos uma pessoa daltônica entre 600 é muito alta, cerca de
. Isso faz sentido porque a esperança é daltônicos em média, então é bastante provável que apareça pelo menos um. - Bom trabalho chegando até aqui — você já aprendeu duas formas (complemento binomial exato e aproximação de Poisson) e como aproximar potências usando logaritmos em provas. Força nos estudos!