Deixa-se cair uma bolinha de tênis massa m de uma certa altura h. Se o coeficiente de restituição entre a bolinha e a superfície é varepsilon, mostre que o tempo necessário para ela parar de pular pode ser escrito como:
t=raiz2 hg(1+varepsilon1-varepsilon)
Dado: (1-x)^-1=1+x+x^2+x^3+x^4+cdots

Passo 1

Beleza, então o que o enunciado tá pedindo? A gente larga uma bolinha de tênis de massa t ;=;raiz2hg;l(1+varepsilon1-varepsilonr) de uma altura . Quando ela bate no chão, ela “perde” um pouco de energia segundo o coeficiente de restituição . O objetivo é mostrar que o tempo total até ela parar de quicar é
Esse problema mistura duas ideias principais:
  1. movimento uniformemente variado (queda livre e subida depois de cada quique),
  2. soma de uma série geométrica infinita, porque a cada quique a altura e o tempo vão diminuindo em razão de .

Passo 2

Primeiro, acha o tempo do primeiro vão:
  • Queda inicial de altura t0 = raiz2hg .
    Num MRUV com aceleração , o tempo de queda é
(Usamos , daí .)

Passo 3

Quando ela bate, a velocidade logo antes do choque é
v1 = raiz2gh,
Depois do choque, a velocidade sobe fica reduzida em v'1 = varepsilon,v1 = varepsilon,raiz2gh , ou seja
Agora ela sobe até parar momentaneamente, e cai de novo.

Passo 4

O tempo dessa subida é t1 = 2,varepsilon,raiz2ghg = 2,varepsilon;raiz2hg .
E o tempo da queda seguinte é igual a esse mesmo valor (subida e descida simétricas).
Logo, o ciclo “um pique depois do primeiro” leva

Passo 5

No terceiro quique, o fator t2 = 2,varepsilon^2,raiz2hg, age de novo sobre a velocidade do segundo voo, então o tempo do próximo vai ser
t3 = 2,varepsilon^3,raiz2hg,
depois
e assim por diante até “infinito”, porque cada vez ela vai quicar menos.

Passo 6

O tempo total é a soma de todos esses pedaços: o primeiro t = t0 + sumn=1^infty tn = raiz2hg ;+;sumn=1^infty2,varepsilon^n,raiz2hg mais a série infinita dos tempos dos quiques:
t = raiz2hgl(1 + 2sumn=1^inftyvarepsilon^nr)
Fatorando , dá

Passo 7

Agora usamos a fórmula da série geométrica:
sumn=1^inftyvarepsilon^n = varepsilon1-varepsilon .
Então
t = raiz2hgl(1 + 2,varepsilon1-varepsilonr) = raiz2hg ;(1-varepsilon) + 2varepsilon1-varepsilon = raiz2hg;1+varepsilon1-varepsilon
Substituindo:

Resposta

boxed,t = raiz2hg;1+varepsilon1-varepsilon,

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