Deixa-se cair uma bolinha de tênis massa
de uma certa altura
. Se o coeficiente de restituição entre a bolinha e a superfície é
, mostre que o tempo necessário para ela parar de pular pode ser escrito como:
Dado:
Dado:
Passo 1
Beleza, então o que o enunciado tá pedindo? A gente larga uma bolinha de tênis de massa
de uma altura
. Quando ela bate no chão, ela “perde” um pouco de energia segundo o coeficiente de restituição
. O objetivo é mostrar que o tempo total até ela parar de quicar é
Esse problema mistura duas ideias principais:
- movimento uniformemente variado (queda livre e subida depois de cada quique),
- soma de uma série geométrica infinita, porque a cada quique a altura e o tempo vão diminuindo em razão de
.
Passo 2
Primeiro, acha o tempo do primeiro vão:
- Queda inicial de altura
.
Num MRUV com aceleração, o tempo de queda é
(Usamos
, daí
.)
Passo 3
Quando ela bate, a velocidade logo antes do choque é
Depois do choque, a velocidade sobe fica reduzida em
, ou seja
Agora ela sobe até parar momentaneamente, e cai de novo.
Passo 4
O tempo dessa subida é
.
E o tempo da queda seguinte é igual a esse mesmo valor (subida e descida simétricas).
Logo, o ciclo “um pique depois do primeiro” leva
E o tempo da queda seguinte é igual a esse mesmo valor (subida e descida simétricas).
Logo, o ciclo “um pique depois do primeiro” leva
Passo 5
No terceiro quique, o fator
age de novo sobre a velocidade do segundo voo, então o tempo do próximo vai ser
depois
e assim por diante até “infinito”, porque cada vez ela vai quicar menos.
Passo 6
O tempo total é a soma de todos esses pedaços: o primeiro
mais a série infinita dos tempos dos quiques:
Fatorando
, dá
Passo 7
Agora usamos a fórmula da série geométrica:
.
Então
Então
Substituindo: