Quando você liga um ventilador a sua hélice não atinge a velocidade máxima de rotação imediatamente, mas demora um certo intervalo de tempo, que depende da força do motor. Tipicamente, a velocidade de rotação aumenta segundo uma função exponencial. Considere que ao ser ligado o motor produza uma aceleração angular na extremidade da hélice escrita na forma
, onde
(aceleração angular inicial) e
(taxa temporal com que a força de inércia rotacional da hélice anula a força elétrica do motor) são constantes. Inicialmente a hélice se encontra parada. Mostre que o número de voltas de uma das extremidade da hélice após um tempo
pode ser escrito na forma:
Passo 1
O enunciado diz que, ao ligar um ventilador, a aceleração angular na ponta da hélice é
,
com e
constantes, e a hélice parte do repouso. Queremos achar o número de voltas
que a hélice deu até um tempo
.
Conteúdo: cinemática rotacional (integração de aceleração angular para obter velocidade angular e, depois, posição angular). Vamos precisar integrar passo a passo.
com
Conteúdo: cinemática rotacional (integração de aceleração angular para obter velocidade angular e, depois, posição angular). Vamos precisar integrar passo a passo.
Passo 2
Primeiro passo da resolução de verdade: obter a velocidade angular
.
Sabemos que
.
Então
Sabemos que
Então
Aqui usamos que, para um aluno que não viu teoria, integrar uma exponencial
e a condição inicial
garante a constante certa.
Passo 3
Agora a gente quer a posição (ângulo)
. Em rotação,
.
Substituindo :
Substituindo
Para explicar: a integral de
dá
, e a de
dá
. Subtraindo o valor em
ajusta a constante.
Passo 4
Transforma
em número de voltas
. Como cada volta é
radianos,