Quando você liga um ventilador a sua hélice não atinge a velocidade máxima de rotação imediatamente, mas demora um certo intervalo de tempo, que depende da força do motor. Tipicamente, a velocidade de rotação aumenta segundo uma função exponencial. Considere que ao ser ligado o motor produza uma aceleração angular na extremidade da hélice escrita na forma alpha=a e^-b t, onde a (aceleração angular inicial) e b (taxa temporal com que a força de inércia rotacional da hélice anula a força elétrica do motor) são constantes. Inicialmente a hélice se encontra parada. Mostre que o número de voltas de uma das extremidade da hélice após um tempo t pode ser escrito na forma:
n=a2 pi b^2(e^-b t+b t-1)

Passo 1

O enunciado diz que, ao ligar um ventilador, a aceleração angular na ponta da hélice é
,
com e constantes, e a hélice parte do repouso. Queremos achar o número de voltas que a hélice deu até um tempo .
Conteúdo: cinemática rotacional (integração de aceleração angular para obter velocidade angular e, depois, posição angular). Vamos precisar integrar passo a passo.

Passo 2

Primeiro passo da resolução de verdade: obter a velocidade angular omega(t)=integral0^t a,e^-b t',dt' = al[-tfrac1b e^-b t'r]0^t = al(-tfrac1b e^-b t + tfrac1br) = abl(1-e^-b tr) .
Sabemos que
.
Então
Aqui usamos que, para um aluno que não viu teoria, integrar uma exponencial e a condição inicial garante a constante certa.

Passo 3

Agora a gente quer a posição (ângulo) theta(t) =integral0^t abl(1-e^-b t'r)dt' =abl[;t' + 1be^-b t'r]0^t =abl(t - 1b + e^-b tbr) . Em rotação,
.
Substituindo :
Para explicar: a integral de , e a de . Subtraindo o valor em ajusta a constante.

Passo 4

Transforma n(t)=theta(t)2pi =12pi,abl(t - 1b + e^-b tbr) =a2pi b^2l(b,t + e^-b t-1r) em número de voltas . Como cada volta é radianos,

Resposta

boxedn(t)=a2pi,b^2l(e^-b t+b,t-1r)

Exercícios relacionados