1. Demógrafos predizem que a população de uma certa região urbana é modelada por
P(t)=\frac{k t}{100+t^{2}},
t>0, para os próximos 20 anos, onde k é uma constante positiva.
(a) Em qual intervalo de tempo \mathrm{P}(\mathrm{t}) cresce?
(b) Em qual intervalo de tempo \mathrm{P}(\mathrm{t}) decresce?
Sabe-se que:
Se P^{\prime}(t)>0 para t num intervalo I \Rightarrow P(t) cresceem I
Se P^{\prime}(t) iOparatnumintervaloI \Rightarrow P(t) decresceemI
P^{\prime}(t)=100 k-k t^{2} \overline{\left(100+t^{2}\right)^{2}}
Como k é constante e maior que 0 , basta analisar o sinal da função f(t)=100-t^{2} para t>0.
Se 0 \leq t<10 \Rightarrow f(t)>0 \Rightarrow P^{\prime}(t)>0 \Rightarrow P(t) cresce
Se t>10 \Rightarrow f(t)<0 \Rightarrow P^{\prime}(t)<0 \Rightarrow P(t) decresce

Passo 1

O enunciado dá a população modelada por
P(t)=\frac{k\,t}{100+t^{2}},
com t>0 e k>0, e pede em que intervalos P(t) cresce e decresce. Vamos usar o critério da derivada: se P'(t)>0 então P cresce, e se P'(t)<0 então P decresce.

Passo 2

Calculamos P'(t) usando a regra do quociente. Sendo u(t)=k\,t e v(t)=100+t^{2},
P'(t)=\frac{u'(t)\,v(t)-u(t)\,v'(t)}{[v(t)]^{2}} =\frac{k\,(100+t^{2})-k\,t\cdot2t}{(100+t^{2})^{2}} =\frac{k\,(100 - t^{2})}{(100+t^{2})^{2}}.

Passo 3

Como k>0 e (100+t^{2})^{2}>0 para todo t, o sinal de P'(t) vem apenas de
f(t)=100-t^{2}.
A raiz de f é t=10, pois 100 - t^{2}=0 implica t^{2}=100.

Passo 4

Analisando f(t) em t>0:
  • Para 0<t<10, t^{2}<100 então f(t)>0 e P'(t)>0.
  • Para t>10, t^{2}>100 então f(t)<0 e P'(t)<0.

Resposta

(a) P(t) cresce em 0<t<10.
(b) P(t) decresce em t>10 (no intervalo até os 20 anos, isto é, para 10<t\le20).

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