Demógrafos predizem que a população de uma certa região urbana é modelada por
P(t)=\frac{k t}{100+t^{2}},
t>0, para os próximos 20 anos, onde k é uma constante positiva.
(a) Em qual intervalo de tempo \mathrm{P}(\mathrm{t}) cresce?
(b) Em qual intervalo de tempo \mathrm{P}(\mathrm{t}) decresce?
Sabe-se que:
Se P^{\prime}(t)>0 para t num intervalo I \Rightarrow P(t) cresceem I
Se P^{\prime}(t) iOparatnumintervaloI \Rightarrow P(t) decresceemI P^{\prime}(t)=100 k-k t^{2} \overline{\left(100+t^{2}\right)^{2}}
Como k é constante e maior que 0 , basta analisar o sinal da função f(t)=100-t^{2} para t>0.
Se 0 \leq t<10 \Rightarrow f(t)>0 \Rightarrow P^{\prime}(t)>0 \Rightarrow P(t) cresce
Se t>10 \Rightarrow f(t)<0 \Rightarrow P^{\prime}(t)<0 \Rightarrow P(t) decresce
Passo 1
O enunciado dá a população modelada por
P(t)=\frac{k\,t}{100+t^{2}},
com t>0 e k>0, e pede em que intervalos P(t) cresce e decresce. Vamos usar o critério da derivada: se P'(t)>0 então P cresce, e se P'(t)<0 então P decresce.
Passo 2
Calculamos P'(t) usando a regra do quociente. Sendo u(t)=k\,t e v(t)=100+t^{2},