Encontrar I(x) e então derivar esta função .
\begin{gathered} \log _{10}\left(\frac{I}{I_{0}}\right)=k x \\\ \frac{I}{I_{0}}=10^{k x} \\\ I(x)=I_{0} 10^{k x} \end{gathered}
Derivando I(x):
I^{\prime}(x)=I_{0} 10^{k x}(\ln 10) k=I_{0} k\left(10^{k x}\right) \ln 10

Passo 1

O enunciado dá a relação
\log_{10}\!\biggl(\frac{I}{I_{0}}\biggr)=k\,x
e pede dois objetivos: primeiro encontrar I(x) e depois calcular a derivada I'(x).

Passo 2

Usamos a definição de logaritmo na base 10: se \log_{10}(A)=B, então
A=10^{B}.
Aplicando em \log_{10}(I/I_{0})=k\,x, temos
\frac{I}{I_{0}}=10^{k\,x}.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por I_{0}, obtemos a função desejada:
I(x)=I_{0}\,10^{k\,x}.

Passo 4

Para derivar I(x) usamos a regra da cadeia e a fórmula
\displaystyle \frac{d}{dx}\bigl(a^{u(x)}\bigr)=a^{u(x)}\ln(a)\,u'(x).
Aqui a=10 e u(x)=k\,x, logo u'(x)=k.

Passo 5

Substituindo na regra da cadeia:
I'(x) =I_{0}\,\frac{d}{dx}\bigl(10^{k\,x}\bigr) =I_{0}\,10^{k\,x}\ln(10)\,k =I_{0}\,k\,\ln(10)\,10^{k\,x}.

Resposta

I(x)=I_{0}\,10^{k\,x}, \qquad I'(x)=I_{0}\,k\,\ln(10)\,10^{k\,x}.

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