Demonstrar que a derivada da função definida pela lei:
tomada em qualquer ponto da elipse
ao longo da normal à mesma, é igual a zero.
Passo 1
O enunciado dá a função
e a elipse definida por
O que ele pede: mostrar que, em qualquer ponto da elipse (onde a função está definida), a derivada de
tomada ao longo da normal à elipse é igual a zero. Informações importantes a listar:
- A função
só está definida quando (pois há divisão por ). Observação: os pontos e pertencem à elipse, mas não pertencem ao domínio de ; portanto não fazem parte da verificação. - A normal à curva dada pela equação
em um ponto corresponde à direção do vetor gradiente da função de nível . - Objetivo final: provar que a derivada direcional de
na direção desse vetor normal é zero em qualquer ponto da elipse com .
Passo 2
Conceito chave: o gradiente de uma função de duas variáveis dá a direção normal às curvas de nível dessa função. Se
é uma função cuja curva de nível
é a elipse, então o vetor normal à elipse em
é
. Aqui tomamos
Calculamos o gradiente de
(cada componente é a derivada parcial):
Derivando:
portanto
Breve justificativa intuitiva:
aponta na direção de maior variação de
e é ortogonal às curvas
const; por isso é normal à elipse.
Passo 3
Recordando definição útil: a derivada direcional de
na direção de um vetor unitário
é dada por
onde
é o gradiente de
e
é o produto escalar. Assim, para a direção normal podemos tomar
(vetor normal unitário). Então
Portanto basta mostrar que
(já que
nos pontos da elipse:
só em
, que não está na elipse).
Passo 4
Agora calculamos o gradiente de
. Escrevendo
, as derivadas parciais são:
- derivada parcial em relação a
:
- derivada parcial em relação a
:
Logo
Passo 5
Calculemos o produto escalar
. Usando as expressões encontradas:
Agora simplificamos termo a termo:
- Primeiro termo:
. - Segundo termo:
.
Somando,
Passo 6
Como
, segue que para o vetor normal unitário
temos
Isto mostra que a derivada de
ao longo da normal à elipse é zero em qualquer ponto da elipse onde
está definida (ou seja, para todos os pontos da elipse com
). Observação final: nos pontos
a função
não está definida, portanto não se fala em derivada direcional ali.