Demonstrar que a derivada da função definida pela lei:
f(x, y)=\frac{y^{2}}{x}
tomada em qualquer ponto da elipse 2 x^{2}+y^{2}=9 ao longo da normal à mesma, é igual a zero.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\frac{y^{2}}{x}
e a elipse definida por
2x^{2}+y^{2}=9.
O que ele pede: mostrar que, em qualquer ponto da elipse (onde a função está definida), a derivada de f tomada ao longo da normal à elipse é igual a zero. Informações importantes a listar:
  • A função f só está definida quando x\neq 0 (pois há divisão por x). Observação: os pontos (0,3) e (0,-3) pertencem à elipse, mas não pertencem ao domínio de f; portanto não fazem parte da verificação.
  • A normal à curva dada pela equação 2x^{2}+y^{2}=9 em um ponto corresponde à direção do vetor gradiente da função de nível G(x,y)=2x^{2}+y^{2}-9.
  • Objetivo final: provar que a derivada direcional de f na direção desse vetor normal é zero em qualquer ponto da elipse com x\neq 0.

Passo 2

Conceito chave: o gradiente de uma função de duas variáveis dá a direção normal às curvas de nível dessa função. Se G(x,y) é uma função cuja curva de nível G(x,y)=0 é a elipse, então o vetor normal à elipse em (x,y) é \nabla G(x,y). Aqui tomamos
G(x,y)=2x^{2}+y^{2}-9.
Calculamos o gradiente de G (cada componente é a derivada parcial):
\nabla G(x,y)=\left(\frac{\partial G}{\partial x},\frac{\partial G}{\partial y}\right).
Derivando:
\frac{\partial G}{\partial x}=4x,\qquad \frac{\partial G}{\partial y}=2y,
portanto
\nabla G(x,y)=(4x,\,2y).
Breve justificativa intuitiva: \nabla G aponta na direção de maior variação de G e é ortogonal às curvas G= const; por isso é normal à elipse.

Passo 3

Recordando definição útil: a derivada direcional de f na direção de um vetor unitário u é dada por
D_{u}f=\nabla f\cdot u,
onde \nabla f é o gradiente de f e \cdot é o produto escalar. Assim, para a direção normal podemos tomar u=\dfrac{\nabla G}{\|\nabla G\|} (vetor normal unitário). Então
D_{u}f=\frac{\nabla f\cdot\nabla G}{\|\nabla G\|}.
Portanto basta mostrar que \nabla f\cdot\nabla G=0 (já que \|\nabla G\|\neq 0 nos pontos da elipse: \nabla G=(0,0) só em (0,0), que não está na elipse).

Passo 4

Agora calculamos o gradiente de f. Escrevendo f(x,y)=y^{2}\,x^{-1}, as derivadas parciais são:
  • derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x} = y^{2}\cdot\frac{d}{dx}(x^{-1}) = y^{2}\cdot(-1)x^{-2} = -\frac{y^{2}}{x^{2}},
  • derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{d}{dy}\big(y^{2}\big)\cdot x^{-1} = 2y\cdot\frac{1}{x} = \frac{2y}{x}.
Logo
\boxed{\nabla f(x,y)=\left(-\frac{y^{2}}{x^{2}},\,\frac{2y}{x}\right).}

Passo 5

Calculemos o produto escalar \nabla f\cdot\nabla G. Usando as expressões encontradas:
\nabla f\cdot\nabla G = \left(-\frac{y^{2}}{x^{2}}\right)\cdot(4x) \;+\; \left(\frac{2y}{x}\right)\cdot(2y).
Agora simplificamos termo a termo:
  • Primeiro termo: \left(-\dfrac{y^{2}}{x^{2}}\right)\cdot(4x) = -\dfrac{4y^{2}}{x}.
  • Segundo termo: \left(\dfrac{2y}{x}\right)\cdot(2y) = \dfrac{4y^{2}}{x}.
    Somando,
\nabla f\cdot\nabla G = -\frac{4y^{2}}{x} + \frac{4y^{2}}{x} = 0.

Passo 6

Como \nabla f\cdot\nabla G=0, segue que para o vetor normal unitário u=\dfrac{\nabla G}{\|\nabla G\|} temos
D_{u}f=\frac{\nabla f\cdot\nabla G}{\|\nabla G\|}=0.
Isto mostra que a derivada de f ao longo da normal à elipse é zero em qualquer ponto da elipse onde f está definida (ou seja, para todos os pontos da elipse com x\neq 0). Observação final: nos pontos (0,\pm 3) a função f não está definida, portanto não se fala em derivada direcional ali.

Resposta

0

Exercícios relacionados