Estratégia (explicação didática): aqui x,y,z são funções das variáveis auxiliares \varphi,\psi. A função z=F(x,y) significa que, localmente, \varphi e \psi definem x e y e por sua vez z depende de x,y. Para obter \partial z/\partial x e \partial z/\partial y usamos a regra da cadeia e manipulação de diferenciais. Escrevemos os diferenciais:
Para obter \left.\dfrac{\partial z}{\partial x}\right|_{y} queremos a variação de z quando x varia e y fica constante (ou seja, dy=0). Assim resolvemos o sistema linear formado por dx,dy para d\varphi,d\psi e substituímos em dz. Vou fazer isso passo a passo.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de x,y,z em relação a \varphi e \psi. Derivando termo a termo:
x_\varphi = \frac{\partial x}{\partial \varphi} = -a \sin\varphi \cos\psi, \qquad x_\psi = \frac{\partial x}{\partial \psi} = -a \cos\varphi \sin\psi,
Expliquei: para cada derivada parti a função pelo argumento indicado e tratei as outras variáveis como constantes (regra usual de derivação).
Passo 4
Calcular o determinante jacobiano relevante J (é o determinante da matriz das derivadas de x,y em relação a \varphi,\psi):
J = x_\varphi y_\psi - x_\psi y_\varphi.
Substituindo as derivadas obtidas:
x_\varphi y_\psi = (-a \sin\varphi \cos\psi)(-b \sin\varphi \sin\psi) = a b \sin^2\varphi \cos\psi \sin\psi,
x_\psi y_\varphi = (-a \cos\varphi \sin\psi)(b \cos\varphi \cos\psi) = -a b \cos^2\varphi \sin\psi \cos\psi.
Logo
J = a b \sin\psi \cos\psi \left(\sin^2\varphi + \cos^2\varphi\right) = a b \sin\psi \cos\psi,
pois \sin^2\varphi+\cos^2\varphi=1.
Passo 5
Derivar a fórmula para \left.\dfrac{\partial z}{\partial x}\right|_{y} usando o sistema linear. Com dy=0 e dx infinitesimal dado, resolvendo por Cramer obtemos
Agora substituímos z_\psi = c\cos\psi, y_\varphi = b\cos\varphi\cos\psi e J = a b \sin\psi \cos\psi:
\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{y} = \frac{-(c\cos\psi)(b\cos\varphi\cos\psi)}{a b \sin\psi \cos\psi} = -\frac{c\cos\varphi\cos\psi}{a\sin\psi}.
Simplificando mais usando x = a\cos\varphi\cos\psi (isto é, \cos\varphi\cos\psi = x/a) e \sin\psi = z/c (pois z=c\sin\psi), obtemos duas formas equivalentes. Substituindo direto por x e z: