Considere a função z=F(x, y), onde:
x=a \cos \varphi \cos \psi, \quad y=b \sin \varphi \cos \psi, \quad z=c \sin \psi
Nestas condições, determinar \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y}.

Passo 1

O enunciado dá uma superfície parametrizada por \varphi e \psi e nos pede as derivadas parciais de z em relação a x e a y. Dados fornecidos:
x = a \cos\varphi \cos\psi,\qquad y = b \sin\varphi \cos\psi,\qquad z = c \sin\psi.
O que pedir:
  • Determinar \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}.
  • Determinar \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}.

Passo 2

Estratégia (explicação didática): aqui x,y,z são funções das variáveis auxiliares \varphi,\psi. A função z=F(x,y) significa que, localmente, \varphi e \psi definem x e y e por sua vez z depende de x,y. Para obter \partial z/\partial x e \partial z/\partial y usamos a regra da cadeia e manipulação de diferenciais. Escrevemos os diferenciais:
dx = x_\varphi\,d\varphi + x_\psi\,d\psi, \qquad dy = y_\varphi\,d\varphi + y_\psi\,d\psi,
dz = z_\varphi\,d\varphi + z_\psi\,d\psi.
Para obter \left.\dfrac{\partial z}{\partial x}\right|_{y} queremos a variação de z quando x varia e y fica constante (ou seja, dy=0). Assim resolvemos o sistema linear formado por dx,dy para d\varphi,d\psi e substituímos em dz. Vou fazer isso passo a passo.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de x,y,z em relação a \varphi e \psi. Derivando termo a termo:
x_\varphi = \frac{\partial x}{\partial \varphi} = -a \sin\varphi \cos\psi, \qquad x_\psi = \frac{\partial x}{\partial \psi} = -a \cos\varphi \sin\psi,
y_\varphi = \frac{\partial y}{\partial \varphi} = b \cos\varphi \cos\psi, \qquad y_\psi = \frac{\partial y}{\partial \psi} = -b \sin\varphi \sin\psi,
z_\varphi = \frac{\partial z}{\partial \varphi} = 0, \qquad z_\psi = \frac{\partial z}{\partial \psi} = c \cos\psi.
Expliquei: para cada derivada parti a função pelo argumento indicado e tratei as outras variáveis como constantes (regra usual de derivação).

Passo 4

Calcular o determinante jacobiano relevante J (é o determinante da matriz das derivadas de x,y em relação a \varphi,\psi):
J = x_\varphi y_\psi - x_\psi y_\varphi.
Substituindo as derivadas obtidas:
x_\varphi y_\psi = (-a \sin\varphi \cos\psi)(-b \sin\varphi \sin\psi) = a b \sin^2\varphi \cos\psi \sin\psi,
x_\psi y_\varphi = (-a \cos\varphi \sin\psi)(b \cos\varphi \cos\psi) = -a b \cos^2\varphi \sin\psi \cos\psi.
Logo
J = a b \sin\psi \cos\psi \left(\sin^2\varphi + \cos^2\varphi\right) = a b \sin\psi \cos\psi,
pois \sin^2\varphi+\cos^2\varphi=1.

Passo 5

Derivar a fórmula para \left.\dfrac{\partial z}{\partial x}\right|_{y} usando o sistema linear. Com dy=0 e dx infinitesimal dado, resolvendo por Cramer obtemos
d\varphi = \frac{y_\psi}{J}\,dx,\qquad d\psi = -\frac{y_\varphi}{J}\,dx.
Substituindo em dz = z_\varphi d\varphi + z_\psi d\psi (lembrando z_\varphi=0):
dz = z_\psi d\psi = z_\psi\left(-\frac{y_\varphi}{J}\,dx\right) = \frac{-(z_\psi y_\varphi)}{J}\,dx.
Portanto
\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{y} = \frac{-(z_\psi y_\varphi)}{J}.
Agora substituímos z_\psi = c\cos\psi, y_\varphi = b\cos\varphi\cos\psi e J = a b \sin\psi \cos\psi:
\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{y} = \frac{-(c\cos\psi)(b\cos\varphi\cos\psi)}{a b \sin\psi \cos\psi} = -\frac{c\cos\varphi\cos\psi}{a\sin\psi}.
Simplificando mais usando x = a\cos\varphi\cos\psi (isto é, \cos\varphi\cos\psi = x/a) e \sin\psi = z/c (pois z=c\sin\psi), obtemos duas formas equivalentes. Substituindo direto por x e z:
\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{y} = -\frac{c\,(x/a)}{a\,(z/c)} = -\frac{c^2 x}{a^2 z}.

Passo 6

Agora calculamos \left.\dfrac{\partial z}{\partial y}\right|_{x}. Com dx=0 e dy variando, a solução do sistema dá
d\varphi = -\frac{x_\psi}{J}\,dy,\qquad d\psi = \frac{x_\varphi}{J}\,dy.
Substituindo em dz:
dz = z_\varphi d\varphi + z_\psi d\psi = z_\psi\left(\frac{x_\varphi}{J}\,dy\right)
pois z_\varphi=0. Assim
\left.\frac{\partial z}{\partial y}\right|_{x} = \frac{z_\psi x_\varphi}{J}.
Substituindo z_\psi = c\cos\psi, x_\varphi = -a\sin\varphi\cos\psi e J = a b \sin\psi \cos\psi:
\left.\frac{\partial z}{\partial y}\right|_{x} = \frac{(c\cos\psi)(-a\sin\varphi\cos\psi)}{a b \sin\psi \cos\psi} = -\frac{c\sin\varphi\cos\psi}{b\sin\psi}.
Usando y = b\sin\varphi\cos\psi (logo \sin\varphi\cos\psi = y/b) e \sin\psi = z/c, obtemos a forma em y,z:
\left.\frac{\partial z}{\partial y}\right|_{x} = -\frac{c\,(y/b)}{b\,(z/c)} = -\frac{c^2 y}{b^2 z}.

Resposta

\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{c^{2}x}{a^{2}z}
\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{c^{2}y}{b^{2}z}

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