Demonstrar que \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial u}{\partial z}=0, se
u=(x-y)(y-z)(z-x)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial u}{\partial z}=0
quando
u=(x-y)(y-z)(z-x).
O conteúdo utilizado será a derivada parcial de um produto de fatores (regra do produto).

Passo 2

Calcular \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} aplicando a regra do produto em
u=(x-y)\,(y-z)\,(z-x).
Temos três fatores f=x-y, g=y-z, h=z-x. Apenas f e h dependem de x. Logo
\frac{\partial u}{\partial x} =f'\,g\,h + f\,g\,h',
onde f'=\frac{\partial}{\partial x}(x-y)=1 e h'=\frac{\partial}{\partial x}(z-x)=-1. Assim
\frac{\partial u}{\partial x} =(1)\,(y-z)(z-x) +(x-y)(y-z)\,(-1) =(y-z)\,(z-x)-(x-y)\,(y-z).

Passo 3

Calcular \displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}. Agora só f=x-y e g=y-z dependem de y, com f'=-1 e g'=1. Logo
\frac{\partial u}{\partial y} =f'\,g\,h + f\,g'\,h =-(y-z)(z-x)+(x-y)(z-x)
\frac{\partial u}{\partial y} =(z-x)\bigl((x-y)-(y-z)\bigr).

Passo 4

Calcular \displaystyle \frac{\partial u}{\partial z}. Agora apenas g=y-z e h=z-x dependem de z, com g'=-1 e h'=1. Assim
\frac{\partial u}{\partial z} =f\,g'\,h+f\,g\,h' =-(x-y)(z-x)+(x-y)(y-z)
\frac{\partial u}{\partial z} =(x-y)\bigl((y-z)-(z-x)\bigr).

Passo 5

Somar as três derivadas parciais. Deixando em forma expandida, obtém-se
\frac{\partial u}{\partial x} +( \frac{\partial u}{\partial y}) +( \frac{\partial u}{\partial z}) =(y-z)(y+z-2x) +(z-x)(x+z-2y) +(x-y)(x+y-2z).
Ao desenvolver cada termo e somar, todos os monômios se cancelam, mostrando que a soma é zero.

Resposta

\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial u}{\partial z}=0.

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