- Demonstrar que o método de dois wattímetros também é válido para cargas em Y e
desequilibradas.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais informações temos:
- Pede demonstrar que o método de dois wattímetros é válido mesmo quando a carga for desequilibrada, tanto em ligação em Y quanto em ligação em Δ.
- Informação implícita: estamos num sistema trifásico de três fios (sem neutro à fonte), os wattímetros estão conectados na disposição clássica (cada wattímetro mede a tensão entre duas linhas e a corrente de uma das fases). Não precisamos assumir equilíbrio das correntes ou impedâncias: a prova deve valer para casos gerais desequilibrados.
- O objetivo final a demonstrar (o que devemos provar) é que a soma das leituras dos dois wattímetros dá a potência ativa total absorvida pela carga:
Passo 2
Breve revisão das fórmulas e notação que vamos usar (aula rápida e necessária):
- Usaremos representação fasorial (números complexos) para tensões e correntes em regime senoidal estacionário. Uma tensão de fase é representada por um fasor
e uma corrente por . - Potência ativa média (por fase ou por ramo) no domínio fasorial é dada por
onde
é o conjugado complexo da corrente e
significa “parte real”.
- Convenção de sinais e orientações: cada wattímetro mede a potência média associada ao produto da tensão “do seu enrolamento de tensão” pelo conjugado da corrente que atravessa seu enrolamento de corrente. Iremos adotar a disposição usual:
- Wattímetro 1: tensão entre as linhas
e (ou seja ) e corrente na linha (corrente ). - Wattímetro 2: tensão entre as linhas
e (ou seja ) e corrente na linha (corrente ).
- Wattímetro 1: tensão entre as linhas
- Importante: esta escolha é a típica para o método de dois wattímetros; com essas mesmas orientações a prova vale. Se outro esquema de ligação for usado, a prova segue a mesma ideia, mudando orientações consistentemente.
Passo 3
Demonstração para carga Y (estrela) desequilibrada:
- Notação para carga em Y: as tensões de fase (fase em relação ao neutro da carga) são
; as correntes de fase (em cada ramo da estrela) são . Aqui não assumimos apenas por definição de correntes na carga com neutro isolado? Atenção: em estrela sem conexão de neutro na fonte, as correntes de linha que saem da fonte satisfazem a lei de Kirchhoff no nó neutro da carga (somam zero). Como estamos tratando potência absorvida pela carga, usamos as tensões de fase e correntes de fase da carga e valem as relações usuais. - Leituras dos wattímetros (pela definição):
- Somando as leituras:
- Desenvolvendo e reorganizando os termos (cada passo explicado):
- Expandir a soma dentro do operador
:
- Agrupar os termos com
:
- Usar a relação de correntes em estrela (KCL no nó do neutro da carga): as correntes de fase satisfazem
- Substituir na expressão:
- Expandir a soma dentro do operador
- Portanto
- Interpretação:
é exatamente a potência ativa total absorvida pelas três fases da carga em Y (cada termo é a potência ativa de uma fase). Assim concluímos que para carga em Y, mesmo desequilibrada,
Passo 4
Demonstração para carga Δ (delta) desequilibrada:
- Na ligação em Δ temos três impedâncias de ramo
. As tensões aplicadas a cada ramo são as tensões de linha: . Definimos as correntes de ramo (correntes que circulam nas impedâncias do triângulo) como
- As correntes de linha (as que vão pela fiação A, B, C até a carga) relacionam-se com as correntes de ramo por diferenças (orientação usual: corrente de linha
sai do nó A e entra nas duas ramos conectadas a A):
- As leituras dos wattímetros (mesma convenção de sinais do caso Y):
- Substituir as expressões de
e em termos das correntes de ramo:
- Expandir os conjugados e distribuir:
- Agrupar termos com
:
- Note que
e . Observando a relação cíclica das tensões de linha vale
- Usando isso, a expressão fica
- Agora lembrar que
, então . Portanto
- Interpretação: cada termo
é a potência ativa absorvida pelo ramo correspondente da carga em Δ (tensão de ramo vezes corrente de ramo ). Assim a soma é exatamente a potência ativa total dissipada nos três ramos do delta. - Conclusão para Δ: portanto, mesmo no caso de delta desequilibrado,
Passo 5
Comentário didático final (dicas para prova — o que lembrar na hora):
- A ideia central que torna a prova simples é escrever as leituras dos wattímetros como
e usar as relações geométricas entre tensões de linha e tensões de fase (no Y) ou entre correntes de linha e correntes de ramo (no Δ). - Para Y usamos KCL no nó neutro da carga (
). Para Δ usamos as relações de composição das correntes de linha em termos das correntes de ramo , etc. Em ambos os casos a soma se reduz à soma das potências em cada ramo. - Não é necessário que a carga seja balanceada: não usamos hipótese de igualdade de magnitudes ou ângulos entre fases; a prova é algebraica e válida para qualquer desequilíbrio.
- Na prova, atenção à orientação das tensões e correntes (sinais) — é isso que determina os sinais dos termos em cada passo. Use sempre a mesma convenção quando aplicar na prática.