1. Demonstrar que o método de dois wattímetros também é válido para cargas em Y e \Delta desequilibradas.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais informações temos:
  • Pede demonstrar que o método de dois wattímetros é válido mesmo quando a carga for desequilibrada, tanto em ligação em Y quanto em ligação em Δ.
  • Informação implícita: estamos num sistema trifásico de três fios (sem neutro à fonte), os wattímetros estão conectados na disposição clássica (cada wattímetro mede a tensão entre duas linhas e a corrente de uma das fases). Não precisamos assumir equilíbrio das correntes ou impedâncias: a prova deve valer para casos gerais desequilibrados.
  • O objetivo final a demonstrar (o que devemos provar) é que a soma das leituras dos dois wattímetros dá a potência ativa total absorvida pela carga:
P_{\text{total}}=W_1+W_2.

Passo 2

Breve revisão das fórmulas e notação que vamos usar (aula rápida e necessária):
  • Usaremos representação fasorial (números complexos) para tensões e correntes em regime senoidal estacionário. Uma tensão de fase é representada por um fasor \,V e uma corrente por \,I.
  • Potência ativa média (por fase ou por ramo) no domínio fasorial é dada por
P=\mathrm{Re}\{V I^*\},
onde I^* é o conjugado complexo da corrente e \mathrm{Re}\{\cdot\} significa “parte real”.
  • Convenção de sinais e orientações: cada wattímetro mede a potência média associada ao produto da tensão “do seu enrolamento de tensão” pelo conjugado da corrente que atravessa seu enrolamento de corrente. Iremos adotar a disposição usual:
    • Wattímetro 1: tensão entre as linhas A e B (ou seja V_{AB}=V_A-V_B) e corrente na linha A (corrente I_A).
    • Wattímetro 2: tensão entre as linhas C e B (ou seja V_{CB}=V_C-V_B) e corrente na linha C (corrente I_C).
  • Importante: esta escolha é a típica para o método de dois wattímetros; com essas mesmas orientações a prova vale. Se outro esquema de ligação for usado, a prova segue a mesma ideia, mudando orientações consistentemente.

Passo 3

Demonstração para carga Y (estrela) desequilibrada:
  • Notação para carga em Y: as tensões de fase (fase em relação ao neutro da carga) são V_A, V_B, V_C; as correntes de fase (em cada ramo da estrela) são I_A, I_B, I_C. Aqui não assumimos I_A+I_B+I_C=0 apenas por definição de correntes na carga com neutro isolado? Atenção: em estrela sem conexão de neutro na fonte, as correntes de linha que saem da fonte satisfazem a lei de Kirchhoff no nó neutro da carga (somam zero). Como estamos tratando potência absorvida pela carga, usamos as tensões de fase e correntes de fase da carga e valem as relações usuais.
  • Leituras dos wattímetros (pela definição):
W_1=\mathrm{Re}\{V_{AB}\,I_A^*\}=\mathrm{Re}\{(V_A-V_B)\,I_A^*\},
W_2=\mathrm{Re}\{V_{CB}\,I_C^*\}=\mathrm{Re}\{(V_C-V_B)\,I_C^*\}.
  • Somando as leituras:
W_1+W_2=\mathrm{Re}\{(V_A-V_B)I_A^*+(V_C-V_B)I_C^*\}.
  • Desenvolvendo e reorganizando os termos (cada passo explicado):
    1. Expandir a soma dentro do operador \mathrm{Re}\{\cdot\}:
    (V_A-V_B)I_A^*+(V_C-V_B)I_C^*=V_A I_A^*-V_B I_A^*+V_C I_C^*-V_B I_C^*.
    1. Agrupar os termos com V_B:
    =V_A I_A^*+V_C I_C^*-V_B\big(I_A^*+I_C^*\big).
    1. Usar a relação de correntes em estrela (KCL no nó do neutro da carga): as correntes de fase satisfazem
    I_A+I_B+I_C=0 \quad\Rightarrow\quad I_A^*+I_C^*=-I_B^*.
    1. Substituir na expressão:
    V_A I_A^*+V_C I_C^*-V_B\big(I_A^*+I_C^*\big)=V_A I_A^*+V_C I_C^*+V_B I_B^*.
  • Portanto
W_1+W_2=\mathrm{Re}\{V_A I_A^*+V_B I_B^*+V_C I_C^*\}.
  • Interpretação: \mathrm{Re}\{V_A I_A^*+V_B I_B^*+V_C I_C^*\} é exatamente a potência ativa total absorvida pelas três fases da carga em Y (cada termo é a potência ativa de uma fase). Assim concluímos que para carga em Y, mesmo desequilibrada,
P_{\text{total}}=W_1+W_2.

Passo 4

Demonstração para carga Δ (delta) desequilibrada:
  • Na ligação em Δ temos três impedâncias de ramo Z_{AB},Z_{BC},Z_{CA}. As tensões aplicadas a cada ramo são as tensões de linha: V_{AB},V_{BC},V_{CA}. Definimos as correntes de ramo (correntes que circulam nas impedâncias do triângulo) como
I_{AB}=\frac{V_{AB}}{Z_{AB}},\qquad I_{BC}=\frac{V_{BC}}{Z_{BC}},\qquad I_{CA}=\frac{V_{CA}}{Z_{CA}}.
  • As correntes de linha (as que vão pela fiação A, B, C até a carga) relacionam-se com as correntes de ramo por diferenças (orientação usual: corrente de linha I_A sai do nó A e entra nas duas ramos conectadas a A):
I_A=I_{AB}-I_{CA},\qquad I_B=I_{BC}-I_{AB},\qquad I_C=I_{CA}-I_{BC}.
  • As leituras dos wattímetros (mesma convenção de sinais do caso Y):
W_1=\mathrm{Re}\{V_{AB}\,I_A^*\},\qquad W_2=\mathrm{Re}\{V_{CB}\,I_C^*\}.
  • Substituir as expressões de I_A e I_C em termos das correntes de ramo:
W_1+W_2=\mathrm{Re}\{V_{AB}(I_{AB}-I_{CA})^*+V_{CB}(I_{CA}-I_{BC})^*\}.
  • Expandir os conjugados e distribuir:
W_1+W_2=\mathrm{Re}\{V_{AB}I_{AB}^*-V_{AB}I_{CA}^*+V_{CB}I_{CA}^*-V_{CB}I_{BC}^*\}.
  • Agrupar termos com I_{CA}^*:
=\mathrm{Re}\{V_{AB}I_{AB}^*-V_{CB}I_{BC}^* + ( -V_{AB} + V_{CB})I_{CA}^*\}.
  • Note que V_{CB}=V_C-V_B e V_{AB}=V_A-V_B. Observando a relação cíclica das tensões de linha vale
-V_{AB}+V_{CB}=-(V_A-V_B)+(V_C-V_B)=V_C-V_A=V_{CA}.
  • Usando isso, a expressão fica
W_1+W_2=\mathrm{Re}\{V_{AB}I_{AB}^*-V_{CB}I_{BC}^*+V_{CA}I_{CA}^*\}.
  • Agora lembrar que V_{CB}=-V_{BC}, então -V_{CB}I_{BC}^* = V_{BC}I_{BC}^*. Portanto
W_1+W_2=\mathrm{Re}\{V_{AB}I_{AB}^*+V_{BC}I_{BC}^*+V_{CA}I_{CA}^*\}.
  • Interpretação: cada termo \mathrm{Re}\{V_{XY}I_{XY}^*\} é a potência ativa absorvida pelo ramo correspondente da carga em Δ (tensão de ramo V_{XY} vezes corrente de ramo I_{XY}). Assim a soma é exatamente a potência ativa total dissipada nos três ramos do delta.
  • Conclusão para Δ: portanto, mesmo no caso de delta desequilibrado,
P_{\text{total}}=W_1+W_2.

Passo 5

Comentário didático final (dicas para prova — o que lembrar na hora):
  • A ideia central que torna a prova simples é escrever as leituras dos wattímetros como \mathrm{Re}\{V_{\text{tensão do enrolamento}}\,I_{\text{corrente do enrolamento}}^*\}ã e usar as relações geométricas entre tensões de linha e tensões de fase (no Y) ou entre correntes de linha e correntes de ramo (no Δ).
  • Para Y usamos KCL no nó neutro da carga ( I_A+I_B+I_C=0). Para Δ usamos as relações de composição das correntes de linha em termos das correntes de ramo I_A=I_{AB}-I_{CA}, etc. Em ambos os casos a soma W_1+W_2 se reduz à soma das potências em cada ramo.
  • Não é necessário que a carga seja balanceada: não usamos hipótese de igualdade de magnitudes ou ângulos entre fases; a prova é algebraica e válida para qualquer desequilíbrio.
  • Na prova, atenção à orientação das tensões e correntes (sinais) — é isso que determina os sinais dos termos em cada passo. Use sempre a mesma convenção quando aplicar na prática.

Resposta

P_{\text{total}}=W_1+W_2\quad\text{(válido para cargas em Y ou em }\Delta\text{ mesmo que desequilibradas).}á

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