1. Demonstrar que, tanto para as conexões Y quanto \Delta, W_{1}+W_{2} corresponde à potência trifásica total consumida pelas cargas.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos disponível.
  • Pede-se demonstrar que, na medida trifásica feita com dois wattímetros (conexão usual do método dos dois wattímetros), a soma das potências medidas pelos dois aparelhos, W_{1}+W_{2}, é igual à potência ativa trifásica total consumida pelas cargas, tanto quando as cargas estão ligadas em estrela (Y) quanto quando estão ligadas em triângulo (Δ).
  • Informações relevantes (assumidas padrão neste problema):
    • Trabalho com fasores de tensão e corrente em valores eficazes (RMS). Denotarei as tensões de fase por V_{A},V_{B},V_{C} (fases nos terminais de linha) e as correntes de linha por I_{A},I_{B},I_{C}.
    • O sistema é trifásico de três fios (sem condutor neutro ao ponto de fornecimento), portanto vale a relação de corrente: I_{A}+I_{B}+I_{C}=0.
    • A conexão típica dos dois wattímetros é: wattímetro 1 com bobina de potencial ligada entre as fases A e B e bobina de corrente no condutor de linha A; wattímetro 2 com bobina de potencial entre C e B e bobina de corrente no condutor de linha C. (Essa é a montagem clássica para o método dos dois wattímetros.)
  • A pergunta concreta que vamos responder: provar algebraicamente que W_{1}+W_{2}=P_{\text{total}},onde P_{\text{total}} é a potência ativa total fornecida às cargas.

Passo 2

Definições e fórmula de potência ativa com fasores (lembrando o que cada símbolo significa).
  • Para um par tensão-corrente em fasor (valores eficazes), a potência ativa média entregue por aquela tensão àquela corrente é dada por P=\Re\{V I^{*}\},onde V é o fasor de tensão em RMS, I é o fasor de corrente em RMS e o asterisco ()^{*} indica conjugado complexo. A função \Re\{\cdot\} toma a parte real.
  • Isso vem da expressão da potência instantânea e da média em regime permanente senoidal; a fórmula acima é padrão e vamos usá‑la diretamente.
  • Interpretando fisicamente: \Re\{V I^{*}\} é a potência ativa (em watts) associada àquela tensão e corrente.

Passo 3

Expressar as leituras dos dois wattímetros em termos de fasores.
  • Pelo arranjo dos potenciômetros dos wattímetros:
    • O wattímetro 1 mede a potência associada ao produto da tensão entre A e B pela corrente no condutor A. Em fasores: W_{1}=\Re\{(V_{A}-V_{B})\,I_{A}^{*}\}.Aqui V_{A}-V_{B} é o fasor da tensão entre as fases A e B.
    • O wattímetro 2 mede a potência associada ao produto da tensão entre C e B pela corrente no condutor C. Em fasores: W_{2}=\Re\{(V_{C}-V_{B})\,I_{C}^{*}\}.
  • Essas fórmulas vêm do princípio do wattímetro: bobina de potencial aplica a tensão entre dois pontos, bobina de corrente mede a corrente num dos condutores, e o aparelho fornece a média do produto instantâneo — em fasor RMS isso é a parte real do produto indicado.

Passo 4

Somar W_{1} e W_{2} e manipular algebricamente.
  • Some as duas leituras usando as expressões anteriores: W_{1}+W_{2}=\Re\{(V_{A}-V_{B})I_{A}^{*}\}+\Re\{(V_{C}-V_{B})I_{C}^{*}\}.
  • A parte real é linear, logo podemos juntar os termos dentro de uma única parte real: W_{1}+W_{2}=\Re\{V_{A}I_{A}^{*}-V_{B}I_{A}^{*}+V_{C}I_{C}^{*}-V_{B}I_{C}^{*}\}.
  • Rearranjando os termos: W_{1}+W_{2}=\Re\{V_{A}I_{A}^{*}+V_{C}I_{C}^{*}-V_{B}\,(I_{A}^{*}+I_{C}^{*})\}.

Passo 5

Usar a conservação de corrente (KCL) para simplificar o termo com V_{B}.
  • No sistema trifásico de três fios vale Kirchhoff das correntes no ponto de alimentação: I_{A}+I_{B}+I_{C}=0.Tomando conjugado: I_{A}^{*}+I_{B}^{*}+I_{C}^{*}=0 \quad\Rightarrow\quad I_{A}^{*}+I_{C}^{*}=-I_{B}^{*}.
  • Substitua essa relação na expressão obtida: -V_{B}\,(I_{A}^{*}+I_{C}^{*})=-V_{B}\,(-I_{B}^{*})=V_{B}I_{B}^{*}.
  • Portanto a soma fica W_{1}+W_{2}=\Re\{V_{A}I_{A}^{*}+V_{B}I_{B}^{*}+V_{C}I_{C}^{*}\}.

Passo 6

Interpretar o resultado: isso é a potência trifásica total.
  • A expressão P_{\text{total}}=\Re\{V_{A}I_{A}^{*}+V_{B}I_{B}^{*}+V_{C}I_{C}^{*}\}é justamente a potência ativa total fornecida pelo sistema trifásico (é a soma das potências ativas entregues por cada fase/linha).
  • Concluímos então que W_{1}+W_{2}=P_{\text{total}}.

Passo 7

Explicar por que a demonstração vale tanto para cargas em Y quanto para cargas em Δ (e para cargas desbalanceadas).
  • A demonstração anterior não fez nenhuma hipótese sobre a relação entre tensões e correntes nas cargas, além de usar a lei das correntes I_{A}+I_{B}+I_{C}=0 (que é sempre verdadeira num sistema de três fios no ponto de alimentação) e a definição do que cada wattímetro mede.
  • Em ligação em estrela (Y) as correntes de linha são iguais às correntes de fase e as tensões de fase são V_{A},V_{B},V_{C}; em ligação em triângulo (Δ) as correntes de linha são combinações das correntes de ramo do triângulo, mas ainda assim a potência total fornecida pela fonte é a soma das potências instantâneas em cada linha e, em fasor RMS, é \Re\{V_{A}I_{A}^{*}+V_{B}I_{B}^{*}+V_{C}I_{C}^{*}\}.
  • Como a demonstração só usou essas identidades gerais e a maneira como os wattímetros estão conectados, o resultado vale para cargas Y ou Δ, balanceadas ou não. (Em particular, não foi necessário assumir simetria nem existência de neutro.)

Resposta

W_{1}+W_{2}=\Re\{V_{A}I_{A}^{*}+V_{B}I_{B}^{*}+V_{C}I_{C}^{*}\}=P_{\text{total}}.

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