- Demonstrar que, tanto para as conexões
quanto
corresponde à potência trifásica total consumida pelas cargas.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos disponível.
- Pede-se demonstrar que, na medida trifásica feita com dois wattímetros (conexão usual do método dos dois wattímetros), a soma das potências medidas pelos dois aparelhos,
, é igual à potência ativa trifásica total consumida pelas cargas, tanto quando as cargas estão ligadas em estrela (Y) quanto quando estão ligadas em triângulo (Δ). - Informações relevantes (assumidas padrão neste problema):
- Trabalho com fasores de tensão e corrente em valores eficazes (RMS). Denotarei as tensões de fase por
(fases nos terminais de linha) e as correntes de linha por . - O sistema é trifásico de três fios (sem condutor neutro ao ponto de fornecimento), portanto vale a relação de corrente:
- A conexão típica dos dois wattímetros é: wattímetro 1 com bobina de potencial ligada entre as fases
e e bobina de corrente no condutor de linha ; wattímetro 2 com bobina de potencial entre e e bobina de corrente no condutor de linha . (Essa é a montagem clássica para o método dos dois wattímetros.)
- Trabalho com fasores de tensão e corrente em valores eficazes (RMS). Denotarei as tensões de fase por
- A pergunta concreta que vamos responder: provar algebraicamente que
onde é a potência ativa total fornecida às cargas.
Passo 2
Definições e fórmula de potência ativa com fasores (lembrando o que cada símbolo significa).
- Para um par tensão-corrente em fasor (valores eficazes), a potência ativa média entregue por aquela tensão àquela corrente é dada por
onde é o fasor de tensão em RMS, é o fasor de corrente em RMS e o asterisco indica conjugado complexo. A função toma a parte real. - Isso vem da expressão da potência instantânea e da média em regime permanente senoidal; a fórmula acima é padrão e vamos usá‑la diretamente.
- Interpretando fisicamente:
é a potência ativa (em watts) associada àquela tensão e corrente.
Passo 3
Expressar as leituras dos dois wattímetros em termos de fasores.
- Pelo arranjo dos potenciômetros dos wattímetros:
- O wattímetro 1 mede a potência associada ao produto da tensão entre
e pela corrente no condutor . Em fasores: Aqui é o fasor da tensão entre as fases e . - O wattímetro 2 mede a potência associada ao produto da tensão entre
e pela corrente no condutor . Em fasores:
- O wattímetro 1 mede a potência associada ao produto da tensão entre
- Essas fórmulas vêm do princípio do wattímetro: bobina de potencial aplica a tensão entre dois pontos, bobina de corrente mede a corrente num dos condutores, e o aparelho fornece a média do produto instantâneo — em fasor RMS isso é a parte real do produto indicado.
Passo 4
Somar
e
e manipular algebricamente.
- Some as duas leituras usando as expressões anteriores:
- A parte real é linear, logo podemos juntar os termos dentro de uma única parte real:
- Rearranjando os termos:
Passo 5
Usar a conservação de corrente (KCL) para simplificar o termo com
.
- No sistema trifásico de três fios vale Kirchhoff das correntes no ponto de alimentação:
Tomando conjugado: - Substitua essa relação na expressão obtida:
- Portanto a soma fica
Passo 6
Interpretar o resultado: isso é a potência trifásica total.
- A expressão
é justamente a potência ativa total fornecida pelo sistema trifásico (é a soma das potências ativas entregues por cada fase/linha). - Concluímos então que
Passo 7
Explicar por que a demonstração vale tanto para cargas em Y quanto para cargas em Δ (e para cargas desbalanceadas).
- A demonstração anterior não fez nenhuma hipótese sobre a relação entre tensões e correntes nas cargas, além de usar a lei das correntes
(que é sempre verdadeira num sistema de três fios no ponto de alimentação) e a definição do que cada wattímetro mede. - Em ligação em estrela (Y) as correntes de linha são iguais às correntes de fase e as tensões de fase são
; em ligação em triângulo (Δ) as correntes de linha são combinações das correntes de ramo do triângulo, mas ainda assim a potência total fornecida pela fonte é a soma das potências instantâneas em cada linha e, em fasor RMS, é . - Como a demonstração só usou essas identidades gerais e a maneira como os wattímetros estão conectados, o resultado vale para cargas Y ou Δ, balanceadas ou não. (Em particular, não foi necessário assumir simetria nem existência de neutro.)