Demonstrar que a relação entre os logar ftmos de dois números positivos e diferentes de um independe da base considerada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que a relação entre os logaritmos de dois números positivos e diferentes de um não muda dependendo da base que a gente escolhe. Vamos usar conteúdos de logaritmos, especificamente a troca de base para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um logaritmo. O logaritmo de um número 
  na base 
  é o expoente ao qual a base 
  precisa ser elevada para resultar em 
 . Isso é escrito como:
Passo 3
Agora, vamos considerar dois números positivos e diferentes de um, digamos 
  e 
 . Queremos comparar os logaritmos desses números. Então, temos:
Passo 4
Para mostrar que a relação entre esses dois logaritmos não depende da base 
 , vamos usar a fórmula de troca de base. A fórmula diz que podemos mudar a base de qualquer logaritmo usando:
onde 
  é uma nova base qualquer.
Passo 5
Aplicando a troca de base para 
  e 
 , temos:
Passo 6
Agora, vamos olhar para a relação entre 
  e 
 . Vamos dividir um pelo outro:
Passo 7
Observe que 
 . A razão entre os logaritmos de 
  e 
  é a mesma, independente da base 
  ou 
  que escolhemos.
Resposta
Assim, demonstramos que a relação entre os logaritmos de dois números positivos e diferentes de um é independente da base considerada.