1. Demonstrar que x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=2, se
z=\ln \left(x^{2}+x y+y^{2}\right) .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para
z = \ln\bigl(x^{2} + x y + y^{2}\bigr),
vale
\label{objetivo} x\,\frac{\partial z}{\partial x} + y\,\frac{\partial z}{\partial y} = 2.
O conteúdo principal aqui é derivada parcial e regra da cadeia.

Passo 2

Defina
\label{u} u = x^{2} + x y + y^{2},
de modo que z = \ln(u). Pela regra da cadeia,
\label{dzdx} \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{u}\,\frac{\partial u}{\partial x}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{u}\,\frac{\partial u}{\partial y}.
Como
\frac{\partial u}{\partial x} = 2x + y \quad\text{e}\quad \frac{\partial u}{\partial y} = x + 2y,
temos
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{2x + y}{x^{2} + x y + y^{2}}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{x + 2y}{x^{2} + x y + y^{2}}.

Passo 3

Agora formamos a combinação
x\,\frac{\partial z}{\partial x} + y\,\frac{\partial z}{\partial y} = x\cdot\frac{2x + y}{u} + y\cdot\frac{x + 2y}{u} = \frac{x(2x+y) + y(x+2y)}{u}.
No numerador temos
x(2x+y) + y(x+2y) = 2x^2 + x y + x y + 2y^2 = 2\,(x^2 + x y + y^2).

Passo 4

Como u = x^2 + x y + y^2 (veja [u]), segue
x\,\frac{\partial z}{\partial x} + y\,\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{2\,u}{u} = 2,
que é justamente o que queríamos demonstrar.

Resposta

x\,\frac{\partial z}{\partial x} + y\,\frac{\partial z}{\partial y} = 2.

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