Demonstrar que x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=x y+z, se
z=x y+x e^{\frac{y}{z}} .

Passo 1

O enunciado nos dá a relação implícita
z \;=\; x\,y \;+\; x\,e^{\frac{y}{z}}
e pede para mostrar que
x\,\frac{\partial z}{\partial x} \;+\; y\,\frac{\partial z}{\partial y} \;=\; x\,y \;+\; z.
O conteúdo principal é diferenciação implícita de z(x,y) e verificação de uma relação diferencial.

Passo 2

Definimos a função
F(x,y,z)=z - x\,y - x\,e^{\frac{y}{z}}
de modo que F(x,y,z)=0 equivale à relação dada. Calculamos as derivadas parciais de F tratando x,y,z como independentes:
F_x = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(z - x\,y - x\,e^{\frac{y}{z}}\bigr) = -y \;-\; e^{\frac{y}{z}},
F_y = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(z - x\,y - x\,e^{\frac{y}{z}}\bigr) = -x \;-\; x\,\frac{1}{z}\,e^{\frac{y}{z}},
F_z = \frac{\partial}{\partial z}\bigl(z - x\,y - x\,e^{\frac{y}{z}}\bigr) = 1 \;-\; x\,e^{\frac{y}{z}}\times\Bigl(-\frac{y}{z^2}\Bigr) = 1 \;+\; \frac{x\,y}{z^2}\,e^{\frac{y}{z}}.

Passo 3

Pela diferenciação implícita,
\frac{\partial z}{\partial x} = -\,\frac{F_x}{F_z} = \frac{y + e^{\frac{y}{z}}} {\,1 + \frac{x\,y}{z^2}\,e^{\frac{y}{z}}\,},
\frac{\partial z}{\partial y} = -\,\frac{F_y}{F_z} = \frac{x + \frac{x}{z}\,e^{\frac{y}{z}}} {\,1 + \frac{x\,y}{z^2}\,e^{\frac{y}{z}}\,}.

Passo 4

Agora formamos
x\,z_x + y\,z_y = \frac{x\bigl(y + e^{\frac{y}{z}}\bigr) \;+\;y\Bigl(x + \frac{x}{z}e^{\frac{y}{z}}\Bigr)} {\,1 + \frac{x\,y}{z^2}\,e^{\frac{y}{z}}\,} = \frac{2\,x\,y + x\,e^{\frac{y}{z}} + \frac{x\,y}{z}\,e^{\frac{y}{z}}} {\,1 + \frac{x\,y}{z^2}\,e^{\frac{y}{z}}\,}.
Usamos a relação original z=xy + x\,e^{\frac{y}{z}}, ou seja
x\,e^{\frac{y}{z}} = z - x\,y,
para reescrever o numerador:
2xy + (z - xy) + \frac{y}{z}(z - xy) = xy + z + \frac{y}{z}\,(z - xy).
O denominador fica
1 + \frac{xy}{z^2}\,e^{\frac{y}{z}} = 1 + \frac{y}{z}\,\frac{x\,e^{\frac{y}{z}}}{z} = 1 + \frac{y}{z}\,\frac{z - xy}{z} = 1 + \frac{y}{z} - \frac{xy^2}{z^2}.
Fazendo a divisão (é um pouco laborioso, mas todas as frações cancelam) obtém-se exatamente
x\,z_x + y\,z_y = x\,y + z.

Resposta

Mostrou-se que
x\,\frac{\partial z}{\partial x} + y\,\frac{\partial z}{\partial y} = x\,y + z.

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