Demonstre que:
10^{n+1}-9 n-10 é múltiplo de 81 para todo inteiro positivo n.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
10^{n+1} -9n -10
é múltiplo de 81 para todo n\in\mathbb{N}^+.
Vamos usar indução matemática para provar essa afirmativa.

Passo 2

Para n=1, calculamos
10^{1+1} -9\cdot 1 -10 =10^2 -9 -10 =100 -19 =81
Como 81 é múltiplo de 81, a base da indução está estabelecida.

Passo 3

Suponha que para algum n\ge1 valha
10^{n+1} -9n -10 =81k
para algum k\in\mathbb{Z}. Essa é a hipótese de indução.

Passo 4

Para n+1 definimos
A(n+1) =10^{(n+1)+1} -9(n+1) -10 =10^{n+2} -9n -9 -10
Reescrevendo em função de A(n)=10^{n+1}-9n-10, temos
A(n+1) =10\bigl(10^{n+1}-9n-10\bigr) +(90n+100-9n-9-10)
e o segundo grupo de termos simplifica-se em
90n+100-9n-9-10 =81n+81.
Logo
A(n+1)=10\bigl(A(n)\bigr)+81(n+1).
Pela hipótese de indução, A(n) é múltiplo de 81, assim o primeiro termo é múltiplo de 81 e o segundo também. Portanto, A(n+1) é múltiplo de 81.

Resposta

Logo, por indução, 10^{n+1}-9n-10 é múltiplo de 81 para todo inteiro positivo n.

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