Demonstre que:
é múltiplo de 81 para todo inteiro positivo
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
é múltiplo de 81 para todo
.
Vamos usar indução matemática para provar essa afirmativa.
Vamos usar indução matemática para provar essa afirmativa.
Passo 2
Para
, calculamos
Como
é múltiplo de
, a base da indução está estabelecida.
Passo 3
Suponha que para algum
valha
para algum
. Essa é a hipótese de indução.
Passo 4
Para
definimos
Reescrevendo em função de
, temos
e o segundo grupo de termos simplifica-se em
Logo
Pela hipótese de indução,
é múltiplo de
, assim o primeiro termo é múltiplo de
e o segundo também. Portanto,
é múltiplo de
.
Resposta
Logo, por indução,
é múltiplo de
para todo inteiro positivo
.