Sejam a, b e c inteiros. Mostre que:
se a \mid b e a \mid c, então a^{2} \mid b c.

Passo 1

O enunciado pede para provar uma propriedade de divisibilidade entre inteiros: sejam a,b,c\in\mathbb{Z}. Mostrar que, se a\mid b e a\mid c, então a^{2}\mid b\,c. O conteúdo envolvido é a definição e as propriedades básicas de divisibilidade em \mathbb{Z}.

Passo 2

Lembramos a definição de divisibilidade: dado x,y\in\mathbb{Z}, dizemos que x\mid y se, e somente se, existe um inteiro k tal que
y = x\,k.

Passo 3

Pelas hipóteses temos a\mid b e a\mid c. Logo existem k,\ell\in\mathbb{Z} tais que
b = a\,k \quad\text{e}\quad c = a\,\ell.

Passo 4

Multiplicando b por c substituindo as expressões acima, obtemos
b\,c = (a\,k)\,(a\,\ell) = a^{2}\,(k\,\ell).
Como k\,\ell\in\mathbb{Z}, concluímos que a^{2} divide b\,c.

Resposta

Logo, a^{2}\mid b\,c.

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