Demonstre:
(a)
.
(a)
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar a identidade
Informações dadas:
- A soma envolve termos da forma
para . - O objetivo é provar que essa soma é igual a
para todo inteiro .
Passo 2
Primeira prova (interpretação combinatória, método direto e elementar).
Vou explicar claramente o que cada símbolo conta:
-
é o número de maneiras de escolher um subconjunto com elementos a partir de um conjunto fixo com elementos. - Então
pode ser interpretado como: primeiro escolher um subconjunto de tamanho ( escolhas ) e, em seguida, escolher um elemento “especial” dentro desse subconjunto ( escolhas ). Logo conta o número de pares do tipo onde é um subconjunto de tamanho e é o elemento distinguido.
Agora conto o mesmo tipo de objeto de uma maneira diferente:
- Em vez de primeiro escolher o tamanho
, escolho primeiro o elemento distinguido . Há escolhas possíveis para . - Depois de fixar
, para formar um par preciso escolher quais dos outros elementos entram ou não em . Cada um dos elementos restantes tem 2 opções (entrar ou não), portanto existem subconjuntos que contêm . - Assim, para cada escolha de
há pares . Como existem escolhas para , o total de pares é .
Conclusão deste raciocínio: o número de pares
contado somando
sobre
(porque para cada
contamos os pares com
) é igual ao número contado escolhendo primeiro
. Portanto
(Isto prova a identidade de maneira combinatória e intuitiva.)
Passo 3
Segunda prova (álgebraica, usando o teorema binomial e derivação — útil para a prova caso queiram manipulação algébrica).
Primeiro lembrar o teorema binomial: para todo inteiro
,
Aqui
é uma variável e
são os coeficientes binomiais.
Agora derivar ambos os lados em relação a
. A derivada do lado esquerdo, pela regra da cadeia, é
A derivada do lado direito, aplicado termo a termo, é
Portanto obtemos a identidade (válida para todo
)
Multiplicando ambos os lados por
dá
Agora basta escolher
. No lado direito o termo com
é
, então
Como
, obtemos novamente
Passo 4
Verificação com um exemplo pequeno para intuição (chega pra crer!).
- Tomando
: a soma é . - O lado direito é
.
Confere.