Mostre que (a soma da linha de ordem n+1 do triângulo de Pascal é):
\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+\ldots+\binom{n}{n-1}+\binom{n}{n}=2^{n} .

Passo 1

O enunciado pede para provar a seguinte igualdade para todo inteiro n\ge 0:
\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+\ldots+\binom{n}{n-1}+\binom{n}{n}=2^{n}.
Informações relevantes dadas (explicitamente ou implicitamente):
  • Os termos \binom{n}{k} são os coeficientes binomiais, para k=0,1,\dots,n.
  • A soma vai por todos os k possíveis de 0 até n.
    O objetivo é justificar, com uma explicação passo a passo e didática, por que essa soma vale 2^{n}.

Passo 2

Primeiro, vou explicar o que significa \binom{n}{k} — isso é essencial para entender a soma.
  • Definição em palavras: \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher exatamente k elementos distintos de um conjunto com n elementos (sem considerar ordem).
  • Fórmula em termos de fatorial: \binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (lê-se “ n fatorial”) significa n!=1\cdot 2\cdot 3\cdots n (e por convenção 0!=1).
Explicando as variáveis: n é o total de elementos disponíveis; k é quantos escolhemos; o denominador divide por k! porque a ordem entre os k escolhidos não importa, e por (n-k)! porque os não escolhidos também têm permutações que não distinguimos.

Passo 3

Agora a ideia combinatória simples (contagem em dois jeitos), que é a prova mais direta e intuitiva:
  • Considere um conjunto S com exatamente n elementos distintos (por exemplo, S=\{1,2,\dots,n\}).
  • Queremos contar todas as possíveis subconjuntos de S (incluindo o subconjunto vazio e o próprio S).
Contagem 1 (direta, usando princípio multiplicativo):
  • Para cada elemento de S existem duas possibilidades ao formar um subconjunto: ou o elemento está no subconjunto, ou não está.
  • Essas escolhas são independentes para os n elementos, então o número total de subconjuntos é
2\cdot 2\cdot \cdots \cdot 2 \quad(n\text{ fatores}) = 2^{n}.
Aqui expliquei: cada elemento dá fator 2 (entrar/ não entrar), e pelos princípios básicos de contagem multiplicam-se as possibilidades.

Passo 4

Contagem 2 (classificando por tamanho):
  • Outra maneira de contar todos os subconjuntos é agrupá‑los pelo número de elementos que têm.
  • O número de subconjuntos que têm exatamente k elementos é \binom{n}{k} (pela definição).
  • Portanto, somando sobre todos os possíveis tamanhos k=0,1,\dots,n, o número total de subconjuntos é
\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}.

Passo 5

Comparando as duas contagens:
  • O total de subconjuntos contado de forma direta deu 2^{n} (Passo 3).
  • O total contado por tamanho deu \displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} (Passo 4).
    Como estamos contando a mesma coleção (todos os subconjuntos de S), os dois resultados devem ser iguais. Logo
\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}=2^{n},
o que é exatamente a identidade pedida.

Passo 6

Para fixar a intuição, um exemplo pequeno: n=3.
  • Os coeficientes são \binom{3}{0}=1, \binom{3}{1}=3, \binom{3}{2}=3, \binom{3}{3}=1.
  • Somando: \displaystyle 1+3+3+1=8.
  • E 2^{3}=8. Funciona direitinho — a ideia geral é a mesma para todo n.

Passo 7

Complemento (outra visão rápida usando o Teorema Binomial):
  • O Teorema Binomial diz que, para quaisquer x,y,
(x+y)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{k}y^{n-k}.
  • Tomando x=1 e y=1 obtemos
2^{n}=(1+1)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdot 1^{k}\cdot 1^{\,n-k}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k},
o que fornece a mesma identidade de forma algébrica. (Intuição do porquê do Teorema Binomial: ao expandir (x+y)^n escolhe‑se em cada fator (x+y) se pega x ou y; escolher x em k dos n fatores pode ser feito de \binom{n}{k} maneiras.)

Resposta

\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+\ldots+\binom{n}{n}=2^{n}.

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