Demonstre que a derivada de uma função ímpar é uma função par.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a derivada de uma função ímpar é uma função par. Isso está dentro do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente sobre propriedades de funções ímpares e pares e como elas se comportam ao serem derivadas. Para isso, vamos lembrar as definições de função ímpar e par e aplicar a regra de derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma função ímpar. Uma função é ímpar se ela satisfaz a condição:
Isso significa que o gráfico da função é simétrico em relação à origem.

Passo 3

Agora, vamos derivar ambos os lados dessa igualdade em relação a . Aplicando a derivada, temos:

Passo 4

A gente sabe que a derivada da função usa a regra da cadeia. Então:
E a derivada de é:

Passo 5

Igualando as duas expressões que obtivemos:
Podemos simplificar ambos os lados dividindo por :

Passo 6

O que isso significa? Que , ou seja, a derivada da função ímpar satisfaz a condição de uma função par. Portanto, é uma função par.

Resposta

A derivada de uma função ímpar é uma função par.

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