Demonstre que a derivada de uma função ímpar é uma função par.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a derivada de uma função ímpar é uma função par. Isso está dentro do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente sobre propriedades de funções ímpares e pares e como elas se comportam ao serem derivadas. Para isso, vamos lembrar as definições de função ímpar e par e aplicar a regra de derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma função ímpar. Uma função
é ímpar se ela satisfaz a condição:
Isso significa que o gráfico da função é simétrico em relação à origem.
Passo 3
Agora, vamos derivar ambos os lados dessa igualdade em relação a
. Aplicando a derivada, temos:
Passo 4
A gente sabe que a derivada da função
usa a regra da cadeia. Então:
E a derivada de
é:
Passo 5
Igualando as duas expressões que obtivemos:
Podemos simplificar ambos os lados dividindo por
:
Passo 6
O que isso significa? Que
, ou seja, a derivada da função ímpar
satisfaz a condição de uma função par. Portanto,
é uma função par.
Resposta
A derivada de uma função ímpar é uma função par.