Demonstre que desprezando a densidade de corrente de deslocamento para um meio homogêneo, linear e sem cargas, com condutividade \sigma_{\text {e }} permeabilidade \mu, podemos obter \Delta \mathbf{E}=\sigma \mu \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num meio homogêneo, linear, sem cargas livres e desprezando a densidade de corrente de deslocamento, a equação de Maxwell leva a
\Delta \mathbf{E} = \sigma \,\mu\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}.
O conteúdo principal é usar as equações de Maxwell (Lei de Faraday e Lei de Ampère sem deslocamento) e as relações lineares do meio \mathbf{J}=\sigma\,\mathbf{E}, \mathbf{B}=\mu\,\mathbf{H}.

Passo 2

Escrevemos as duas equações de Maxwell relevantes, supondo densidade volumétrica de carga zero e desprezando \partial\mathbf{D}/\partial t:
\nabla\times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t},
\nabla\times \mathbf{H} = \mathbf{J} = \sigma\,\mathbf{E}.

Passo 3

Substituímos \mathbf{B}=\mu\,\mathbf{H} na primeira equação e, em seguida, aplicamos o operador \nabla\times sobre ela:
\nabla\times(\nabla\times \mathbf{E}) = -\,\nabla\times\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = -\,\mu\,\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times \mathbf{H}) = -\,\mu\,\frac{\partial}{\partial t}(\sigma\,\mathbf{E}) = -\,\mu\,\sigma\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}.

Passo 4

Usamos a identidade vetorial
\nabla\times(\nabla\times \mathbf{E}) = \nabla(\nabla\cdot \mathbf{E}) - \Delta \mathbf{E}.
Como não há carga livre, \nabla\cdot \mathbf{D}=0 e, num meio linear, \nabla\cdot \mathbf{E}=0. Logo \nabla(\nabla\cdot \mathbf{E})=0 e ficamos com
-\,\Delta \mathbf{E} = -\,\mu\,\sigma\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \quad\Longrightarrow\quad \Delta \mathbf{E} = \mu\,\sigma\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}.

Resposta

\Delta \mathbf{E} = \sigma \,\mu\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}.

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