De forma similar ao Exemplo 2.4.6, demonstre que, em estática, podemos definir um potencial escalar magnético \Omega quando \mathbf{J}=0. Obtenha a equação de Laplace correspondente para um domínio contendo meios caracterizados por suas permeabilidades \mu.

Passo 1

O enunciado está em magnetostática, onde temos os campos \mathbf{B} e \mathbf{H} relacionados pela permeabilidade \mu, e queremos mostrar que, se a densidade de corrente livre satisfaz \mathbf{J}=0, então existe um potencial escalar magnético \Omega tal que \mathbf{H}=-\nabla\Omega, e que esse potencial verifica uma equação de Laplace adequada ao fato de \mu poder variar no domínio.

Passo 2

Em magnetostática, uma das equações de Maxwell é
\nabla\times\mathbf{H} = \mathbf{J}.
Se \mathbf{J}=0 em todo o domínio, então
\nabla\times\mathbf{H} = \mathbf{0}.
Uma vez que o rotacional de \mathbf{H} é zero em uma região simplesmente conexa, podemos definir um potencial escalar \Omega de modo que
\mathbf{H} = -\nabla\Omega.

Passo 3

Sabendo que \mathbf{B}=\mu\,\mathbf{H} e que sempre vale
\nabla\cdot\mathbf{B}=0,
substituímos \mathbf{H}=-\nabla\Omega em \mathbf{B} para obter
\mathbf{B} = -\,\mu\,\nabla\Omega.
Aplicando a divergência em \mathbf{B} resulta
\nabla\cdot\mathbf{B} = \nabla\cdot\bigl(-\,\mu\,\nabla\Omega\bigr) = -\nabla\cdot\bigl(\mu\,\nabla\Omega\bigr) = 0.

Passo 4

A última igualdade nos dá a equação diferencial para \Omega em um meio de permeabilidade \mu(\mathbf{r}):
\nabla\cdot\bigl(\mu\,\nabla\Omega\bigr)=0.
Esta é a forma geral de uma “equação de Laplace ponderada” quando \mu varia espacialmente.

Passo 5

No caso especial em que \mu é constante em cada região considerada, podemos tirá-la para fora da divergência, obtendo
\mu\,\nabla\cdot(\nabla\Omega)=0 \quad\Longrightarrow\quad \nabla^2\Omega=0,
que é a equação de Laplace clássica para o potencial escalar magnético em materiais homogêneos.

Resposta

Definindo \mathbf{H}=-\nabla\Omega quando \mathbf{J}=0, o potencial escalar magnético satisfaz
\nabla\cdot\bigl(\mu\,\nabla\Omega\bigr)=0
e, se \mu for constante, reduz-se a
\nabla^2\Omega=0.

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