De forma similar ao Exemplo 2.4.6, demonstre que, em estática, podemos definir um potencial escalar magnético
quando
. Obtenha a equação de Laplace correspondente para um domínio contendo meios caracterizados por suas permeabilidades
.
Passo 1
O enunciado está em magnetostática, onde temos os campos
e
relacionados pela permeabilidade
, e queremos mostrar que, se a densidade de corrente livre satisfaz
, então existe um potencial escalar magnético
tal que
, e que esse potencial verifica uma equação de Laplace adequada ao fato de
poder variar no domínio.
Passo 2
Em magnetostática, uma das equações de Maxwell é
Se
em todo o domínio, então
Uma vez que o rotacional de
é zero em uma região simplesmente conexa, podemos definir um potencial escalar
de modo que
Passo 3
Sabendo que
e que sempre vale
substituímos
em
para obter
Aplicando a divergência em
resulta
Passo 4
A última igualdade nos dá a equação diferencial para
em um meio de permeabilidade
:
Esta é a forma geral de uma “equação de Laplace ponderada” quando
varia espacialmente.
Passo 5
No caso especial em que
é constante em cada região considerada, podemos tirá-la para fora da divergência, obtendo
que é a equação de Laplace clássica para o potencial escalar magnético em materiais homogêneos.
Resposta
Definindo
quando
, o potencial escalar magnético satisfaz
e, se
for constante, reduz-se a