a) Escreva as equações de Maxwell para o caso estacionário;
b) sob estas condições, podemos definir um potencial escalar elétrico do qual derivamos \mathbf{E} através de \mathbf{E}=-g r a d V. Mostre que esta definição é válida;
c) a relação constitutiva aqui é \mathbf{D}=\|\varepsilon\| \mathbf{E}, onde consideramos a anisotropia de um meio dielétrico tal que
calcule os componentes de \mathbf{D} em função de \mathbf{E} e, após, em função de V;
d) aplique \mathbf{D} em função de V na equação \operatorname{div} \mathbf{D}=\rho e obtenha a equação 2D de Poisson correspondente.
Passo 1
O enunciado nos pede para tratar o caso eletrostático (estacionário) usando as equações de Maxwell, mostrar que existe um potencial escalar elétrico V tal que \mathbf{E}=-\nabla V, aplicar a lei constitutiva anisotrópica \mathbf{D}=\|\varepsilon\|\mathbf{E} com
(a) \nabla\cdot\mathbf{D}=\rho,\;\nabla\times\mathbf{E}=0,\;\nabla\cdot\mathbf{B}=0,\;\nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{J}.
(b) Como \nabla\times\mathbf{E}=0, existe V com \mathbf{E}=-\nabla V.
(c) D_x=\varepsilon_xE_x=-\varepsilon_x\partial_xV,\;D_y=\varepsilon_yE_y=-\varepsilon_y\partial_yV.
(d) \displaystyle\partial_x\bigl(\varepsilon_x\,\partial_xV\bigr)+\partial_y\bigl(\varepsilon_y\,\partial_yV\bigr)=-\rho.