a) Escreva as equações de Maxwell para o caso estacionário;
b) sob estas condições, podemos definir um potencial escalar elétrico do qual derivamos \mathbf{E} através de \mathbf{E}=-g r a d V. Mostre que esta definição é válida;
c) a relação constitutiva aqui é \mathbf{D}=\|\varepsilon\| \mathbf{E}, onde consideramos a anisotropia de um meio dielétrico tal que
\|\varepsilon\|=\left[\begin{array}{cc} \varepsilon_{x} & 0 \\\\ 0 & \varepsilon_{y} \end{array}\right]
calcule os componentes de \mathbf{D} em função de \mathbf{E} e, após, em função de V;
d) aplique \mathbf{D} em função de V na equação \operatorname{div} \mathbf{D}=\rho e obtenha a equação 2D de Poisson correspondente.

Passo 1

O enunciado nos pede para tratar o caso eletrostático (estacionário) usando as equações de Maxwell, mostrar que existe um potencial escalar elétrico V tal que \mathbf{E}=-\nabla V, aplicar a lei constitutiva anisotrópica \mathbf{D}=\|\varepsilon\|\mathbf{E} com
\|\varepsilon\|=\begin{pmatrix}\varepsilon_x&0\\\ 0&\varepsilon_y\end{pmatrix},
e, finalmente, obter a equação 2D de Poisson \nabla\cdot\mathbf{D}=\rho.

Passo 2

Em regime estacionário temos \partial/\partial t=0. As equações de Maxwell tornam-se
\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho,
\nabla\times\mathbf{E}=0,
\nabla\cdot\mathbf{B}=0,
\nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{J}.

Passo 3

Como \nabla\times\mathbf{E}=0, o campo \mathbf{E} é conservativo. Por isso existe um escalar V tal que
\mathbf{E}=-\nabla V.
De fato, \nabla\times(-\nabla V)=0 vale para qualquer V, garantindo a consistência.

Passo 4

A lei constitutiva anisotrópica dá
\mathbf{D}=\|\varepsilon\|\mathbf{E} =\begin{pmatrix}\varepsilon_x&0\\\ 0&\varepsilon_y\end{pmatrix} \begin{pmatrix}E_x\E_y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\varepsilon_xE_x\\varepsilon_yE_y\end{pmatrix}.
Mas E_x=-\partial_xV e E_y=-\partial_yV, logo
D_x=-\varepsilon_x\,\partial_xV,\qquad D_y=-\varepsilon_y\,\partial_yV.

Passo 5

Substituindo em \nabla\cdot\mathbf{D}=\rho obtemos
\partial_xD_x+\partial_yD_y =-\partial_x\bigl(\varepsilon_x\,\partial_xV\bigr) -\partial_y\bigl(\varepsilon_y\,\partial_yV\bigr) =\rho.
Reordenando, a equação 2D de Poisson fica
\partial_x\bigl(\varepsilon_x\,\partial_xV\bigr) +\partial_y\bigl(\varepsilon_y\,\partial_yV\bigr) =-\,\rho.

Resposta

(a) \nabla\cdot\mathbf{D}=\rho,\;\nabla\times\mathbf{E}=0,\;\nabla\cdot\mathbf{B}=0,\;\nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{J}.
(b) Como \nabla\times\mathbf{E}=0, existe V com \mathbf{E}=-\nabla V.
(c) D_x=\varepsilon_xE_x=-\varepsilon_x\partial_xV,\;D_y=\varepsilon_yE_y=-\varepsilon_y\partial_yV.
(d) \displaystyle\partial_x\bigl(\varepsilon_x\,\partial_xV\bigr)+\partial_y\bigl(\varepsilon_y\,\partial_yV\bigr)=-\rho.

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