Demonstre que:
A equação do plano que passa pelos pontos \left(a_{1}, b_{1}, c_{1}\right),\left(a_{2}, b_{2}, c_{2}\right) e\left(a_{3}, b_{3}, c_{3}\right) não colineares, pode ser escrita
\left|\begin{array}{cccc} x & y & z & 1 \\\ a_{1} & b_{1} & c_{1} & 1 \\\ a_{2} & b_{2} & c_{2} & 1 \\\ a_{3} & b_{3} & c_{3} & 1 \end{array}\right|=0

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano que passa por três pontos não colineares \left(a_{1},b_{1},c_{1}\right), \left(a_{2},b_{2},c_{2}\right) e \left(a_{3},b_{3},c_{3}\right).
O conteúdo é equação de plano em \mathbb{R}^{3}, que podemos obter usando produto vetorial e produto misto.

Passo 2

Escolhemos \mathbf{P}_1=(a_{1},b_{1},c_{1}) como ponto de referência e definimos os vetores \mathbf{u}=\mathbf{P}_2-\mathbf{P}_1=(a_{2}-a_{1},\,b_{2}-b_{1},\,c_{2}-c_{1}) e \mathbf{v}=\mathbf{P}_3-\mathbf{P}_1=(a_{3}-a_{1},\,b_{3}-b_{1},\,c_{3}-c_{1}).
Um ponto genérico \mathbf{X}=(x,y,z) pertence ao plano se, e somente se, os vetores \mathbf{X}-\mathbf{P}_1, \mathbf{u} e \mathbf{v} forem coplanares.

Passo 3

A condição de coplanaridade é
(\mathbf{X}-\mathbf{P}_1)\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{v})=0.
Escrevendo em forma de determinante 3\times 3 para o produto misto, temos
\det\begin{pmatrix} x-a_{1} & y-b_{1} & z-c_{1}\\\ a_{2}-a_{1} & b_{2}-b_{1} & c_{2}-c_{1}\\\ a_{3}-a_{1} & b_{3}-b_{1} & c_{3}-c_{1} \end{pmatrix} =0.

Passo 4

Para chegar à forma 4\times 4 do enunciado, usamos operações elementares de linha num determinante 4\times 4:
\begin{vmatrix} x & y & z & 1\\\ a_{1} & b_{1} & c_{1} & 1\\\ a_{2} & b_{2} & c_{2} & 1\\\ a_{3} & b_{3} & c_{3} & 1 \end{vmatrix}.
Subtraindo a primeira linha de cada uma das outras três, obtemos, até fator (-1), exatamente o determinante 3\times 3 acima (com colunas aumentadas por 1). Como fator escalar não afeta a condição “igual a zero”, concluímos que a equação do plano é

Resposta

\begin{vmatrix} x & y & z & 1\\\ a_{1} & b_{1} & c_{1} & 1\\\ a_{2} & b_{2} & c_{2} & 1\\\ a_{3} & b_{3} & c_{3} & 1 \end{vmatrix} =0.

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