Demonstre que a equação 
  pode ser tornada exata e resolva-a.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação diferencial 
 . Nosso objetivo é mostrar que essa equação pode ser transformada em uma equação exata e, depois, resolvê-la. Para isso, vamos precisar entender o que é uma equação exata e como encontrar um fator integrante que a torne exata.
Passo 2
Primeiro, vamos ver o que é uma equação exata. Uma equação diferencial na forma 
  é exata se existe uma função 
  tal que 
 . Isso significa que as derivadas parciais de 
  em relação a 
  e 
  satisfazem:
Então, vamos identificar 
  e 
  na nossa equação:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais para verificar se a equação é exata:
Como 
 , a equação já é exata! Isso significa que podemos encontrar uma função 
  que nos ajudará a resolver a equação.
Passo 3
Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar a função 
 . Para isso, integramos 
  em relação a 
 :
Aqui, 
  é uma função que depende só de 
 , já que ao integrar em relação a 
 , a constante de integração pode ser uma função de 
 .
Passo 4
Em seguida, vamos derivar 
  em relação a 
  e igualar a 
  para encontrar 
 :
Assim:
Integrando 
  em relação a 
 :
Como estamos procurando por uma solução geral, podemos ignorar a constante 
 .
Passo 5
Portanto, a função 
  completa é:
A solução da equação diferencial é dada por 
 . Assim, temos:
Resposta
A solução da equação diferencial é 
 , onde 
  é uma constante.