Demonstre a fórmula binomial usando a série de Taylor.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente demonstrar a fórmula binomial usando a série de Taylor. Isso significa que vamos usar os conceitos de cálculo, especificamente a expansão em série de funções, para chegar na fórmula que expande potências de binômios. Para isso, vamos precisar entender o que é a fórmula binomial e como a série de Taylor funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar qual é a fórmula binomial. Ela nos permite expandir uma expressão do tipo 
  em uma soma de termos envolvendo combinações. A fórmula é:
Aqui, 
  é o coeficiente binomial, que calcula combinações de 
  elementos tomados 
  de cada vez.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a série de Taylor. A série de Taylor de uma função 
  em torno de um ponto 
  é dada por:
Onde 
  é a 
 -ésima derivada de 
  avaliada em 
 , e 
  é o fatorial de 
 .
Passo 4
Vamos aplicar a série de Taylor para expandir a função 
  em torno de 
 . Assim, temos:
Para isso, precisamos encontrar as derivadas de 
  avaliadas em 0.
Passo 5
Calculando as derivadas:
- A primeira derivada: 
 - A segunda derivada: 
 - E assim por diante, até a 
-ésima derivada:  
Avaliada em 
 :
Isso pode ser simplificado usando o fatorial:
Passo 6
Substituindo na série de Taylor:
Aqui, usamos a definição de coeficiente binomial 
 .
Como 
  é um inteiro não negativo, a série termina em 
 , pois para 
 , 
 .