Demonstre a identidade, admitindo que as derivadas parciais apropriadas existem e são contínuas. Se f for um campo escalar e \mathbf{F}, \mathbf{G} forem campos vetoriais, então f \mathbf{F}, \mathbf{F} \cdot \mathbf{G} e \mathbf{F} \times \mathbf{G} serão definidos por
\begin{aligned} (f \mathbf{F})(x, y, z) & =f(x, y, z) \mathbf{F}(x, y, z) \\\ (\mathbf{F} \cdot \mathbf{G})(x, y, z) & =\mathbf{F}(x, y, z) \cdot \mathbf{G}(x, y, z) \\\ (\mathbf{F} \times \mathbf{G})(x, y, z) & =\mathbf{F}(x, y, z) \times \mathbf{G}(x, y, z) \end{aligned}
  1. \operatorname{rot}(\mathbf{F}+\mathbf{G})=\operatorname{rot} \mathbf{F}+\operatorname{rot} \mathbf{G}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o operador rot (ou curl), definido por
\operatorname{rot}\mathbf{H} =\nabla\times\mathbf{H} =\Bigl(\frac{\partial H_{3}}{\partial y}-\frac{\partial H_{2}}{\partial z},\, \frac{\partial H_{1}}{\partial z}-\frac{\partial H_{3}}{\partial x},\, \frac{\partial H_{2}}{\partial x}-\frac{\partial H_{1}}{\partial y}\Bigr),
é linear, ou seja,
\operatorname{rot}(\mathbf{F}+\mathbf{G}) =\operatorname{rot}\mathbf{F}+\operatorname{rot}\mathbf{G}.
Vamos usar a definição componente a componente e a propriedade de linearidade das derivadas parciais.

Passo 2

Denotemos
\mathbf{F}(x,y,z)=(P,Q,R), \quad \mathbf{G}(x,y,z)=(P',Q',R'),
onde P,Q,R,P',Q',R' têm derivadas parciais contínuas. Então
\mathbf{F}+\mathbf{G}=(P+P',\,Q+Q',\,R+R').

Passo 3

Aplicando a definição de rot a \mathbf{F}+\mathbf{G}, obtemos
\operatorname{rot}(\mathbf{F}+\mathbf{G}) =\Bigl( \frac{\partial (R+R')}{\partial y} -\frac{\partial (Q+Q')}{\partial z},\, \frac{\partial (P+P')}{\partial z} -\frac{\partial (R+R')}{\partial x},\, \frac{\partial (Q+Q')}{\partial x} -\frac{\partial (P+P')}{\partial y} \Bigr).

Passo 4

Como a derivada parcial de soma é soma das derivadas, por exemplo \displaystyle \frac{\partial (R+R')}{\partial y} =\frac{\partial R}{\partial y}+\frac{\partial R'}{\partial y}, podemos agrupar cada componente:
\frac{\partial (R+R')}{\partial y} -\frac{\partial (Q+Q')}{\partial z} = \bigl(\tfrac{\partial R}{\partial y}-\tfrac{\partial Q}{\partial z}\bigr) + \bigl(\tfrac{\partial R'}{\partial y}-\tfrac{\partial Q'}{\partial z}\bigr),
e de modo análogo nas outras duas coordenadas. Logo
\operatorname{rot}(\mathbf{F}+\mathbf{G}) =(\dots) =(\operatorname{rot}\mathbf{F})+(\operatorname{rot}\mathbf{G}).

Resposta

\displaystyle \operatorname{rot}(\mathbf{F}+\mathbf{G}) =\operatorname{rot}\mathbf{F}+\operatorname{rot}\mathbf{G}.

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