Demonstre a identidade, admitindo que as derivadas parciais apropriadas existem e são contínuas. Se
for um campo escalar e
forem campos vetoriais, então
e
serão definidos por
-
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o operador rot (ou curl), definido por
é linear, ou seja,
Vamos usar a definição componente a componente e a propriedade de linearidade das derivadas parciais.
Passo 2
Denotemos
onde
têm derivadas parciais contínuas. Então
Passo 3
Aplicando a definição de rot a
, obtemos
Passo 4
Como a derivada parcial de soma é soma das derivadas, por exemplo
, podemos agrupar cada componente:
e de modo análogo nas outras duas coordenadas. Logo