Demonstre a identidade, admitindo que as derivadas parciais apropriadas existem e são contínuas. Se f for um campo escalar e \mathbf{F}, \mathbf{G} forem campos vetoriais, então f \mathbf{F}, \mathbf{F} \cdot \mathbf{G} e \mathbf{F} \times \mathbf{G} serão definidos por
\begin{aligned} (f \mathbf{F})(x, y, z) & =f(x, y, z) \mathbf{F}(x, y, z) \\\ (\mathbf{F} \cdot \mathbf{G})(x, y, z) & =\mathbf{F}(x, y, z) \cdot \mathbf{G}(x, y, z) \\\ (\mathbf{F} \times \mathbf{G})(x, y, z) & =\mathbf{F}(x, y, z) \times \mathbf{G}(x, y, z) \end{aligned}
  1. \operatorname{div}(\mathbf{F} \times \mathbf{G})=\mathbf{G} \cdot \operatorname{rot} \mathbf{F}-\mathbf{F} \cdot \operatorname{rot} \mathbf{G}

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a identidade de cálculo vetorial
\operatorname{div}(\mathbf{F}\times \mathbf{G}) =\mathbf{G}\cdot\operatorname{rot}\mathbf{F} -\mathbf{F}\cdot\operatorname{rot}\mathbf{G},
admitindo que as derivadas parciais existem e são contínuas.
Conteúdo: definições de produto vetorial, divergência e rotação.
Estratégia: usar notação por componentes em \mathbb{R}^3, calcular cada lado em componentes e comparar termo a termo.

Passo 2

Sejam \mathbf{F}=(P,Q,R) e \mathbf{G}=(U,V,W).
Então o produto vetorial é
\mathbf{F}\times\mathbf{G} =\bigl(QW - RV,\;R U - P W,\;P V - Q U\bigr).

Passo 3

Pela definição de divergência,
\begin{aligned} \operatorname{div}(\mathbf{F}\times\mathbf{G}) &=\frac{\partial}{\partial x}(QW - R V) +\frac{\partial}{\partial y}(R U - P W) +\frac{\partial}{\partial z}(P V - Q U)\\\ &=Q_x W + Q W_x - R_x V - R V_x\\\ &\quad+R_y U + R U_y - P_y W - P W_y\\\ &\quad+P_z V + P V_z - Q_z U - Q U_z. \end{aligned}

Passo 4

Agora calculamos
\operatorname{rot}\mathbf{F} =\bigl(R_y - Q_z,\;P_z - R_x,\;Q_x - P_y\bigr), \quad \operatorname{rot}\mathbf{G} =\bigl(W_y - V_z,\;U_z - W_x,\;V_x - U_y\bigr).
Então
\begin{aligned} \mathbf{G}\cdot\operatorname{rot}\mathbf{F} &=U(R_y - Q_z)+V(P_z - R_x)+W(Q_x - P_y),\\\ \mathbf{F}\cdot\operatorname{rot}\mathbf{G} &=P(W_y - V_z)+Q(U_z - W_x)+R(V_x - U_y). \end{aligned}
Subtraindo,
\begin{aligned} \mathbf{G}\cdot\operatorname{rot}\mathbf{F} -\mathbf{F}\cdot\operatorname{rot}\mathbf{G} &=U R_y - U Q_z +V P_z - V R_x +W Q_x - W P_y\\\ &\quad- \bigl(P W_y -P V_z +Q U_z -Q W_x +R V_x -R U_y\bigr)\\\ &=R_y U -Q_z U +P_z V -R_x V +Q_x W -P_y W\\\ &\quad -P W_y +P V_z -Q U_z +Q W_x -R V_x +R U_y. \end{aligned}

Passo 5

Comparando termo a termo as duas expressões de \operatorname{div}(\mathbf{F}\times\mathbf{G}) e de \mathbf{G}\cdot\operatorname{rot}\mathbf{F}-\mathbf{F}\cdot\operatorname{rot}\mathbf{G}, vemos que coincidem exatamente. Assim a identidade está demonstrada.

Resposta

\operatorname{div}(\mathbf{F}\times \mathbf{G}) =\mathbf{G}\cdot\operatorname{rot}\mathbf{F} -\mathbf{F}\cdot\operatorname{rot}\mathbf{G}.

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