Demonstre a identidade, admitindo que as derivadas parciais apropriadas existem e são contínuas. Se
for um campo escalar e
forem campos vetoriais, então
e
serão definidos por
-
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar a identidade de cálculo vetorial
admitindo que as derivadas parciais existem e são contínuas.
Conteúdo: definições de produto vetorial, divergência e rotação.
Estratégia: usar notação por componentes em , calcular cada lado em componentes e comparar termo a termo.
Conteúdo: definições de produto vetorial, divergência e rotação.
Estratégia: usar notação por componentes em
Passo 2
Sejam
e
.
Então o produto vetorial é
Então o produto vetorial é
Passo 3
Pela definição de divergência,
Passo 4
Agora calculamos
Então
Subtraindo,
Passo 5
Comparando termo a termo as duas expressões de
e de
, vemos que coincidem exatamente. Assim a identidade está demonstrada.