Demonstre a identidade, admitindo que as derivadas parciais apropriadas existem e são contínuas. Se f for um campo escalar e \mathbf{F}, \mathbf{G} forem campos vetoriais, então f \mathbf{F}, \mathbf{F} \cdot \mathbf{G} e \mathbf{F} \times \mathbf{G} serão definidos por
\begin{aligned} (f \mathbf{F})(x, y, z) & =f(x, y, z) \mathbf{F}(x, y, z) \\\ (\mathbf{F} \cdot \mathbf{G})(x, y, z) & =\mathbf{F}(x, y, z) \cdot \mathbf{G}(x, y, z) \\\ (\mathbf{F} \times \mathbf{G})(x, y, z) & =\mathbf{F}(x, y, z) \times \mathbf{G}(x, y, z) \end{aligned}
  1. \operatorname{div}(f \mathbf{F})=f \operatorname{div} \mathbf{F}+\mathbf{F} \cdot \nabla f

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a regra do produto para divergência, isto é, mostrar que, dado um campo escalar f e um campo vetorial \mathbf{F}, vale
\operatorname{div}(f\mathbf{F}) = f\,\operatorname{div}\mathbf{F} + \mathbf{F}\cdot\nabla f.
Aqui usaremos definições de divergência e gradiente, bem como a regra do produto para derivadas parciais.

Passo 2

Escrevemos o campo vetorial \mathbf{F} pelas suas componentes:
\mathbf{F}(x,y,z) = \bigl(P(x,y,z),\,Q(x,y,z),\,R(x,y,z)\bigr).
Então
f\mathbf{F} = \bigl(fP,\;fQ,\;fR\bigr)
e, pela definição de divergência,
\operatorname{div}(f\mathbf{F}) = \frac{\partial}{\partial x}(fP) + \frac{\partial}{\partial y}(fQ) + \frac{\partial}{\partial z}(fR).

Passo 3

Aplicando a regra do produto em cada derivada parcial, obtemos
\frac{\partial}{\partial x}(fP) = f\,\frac{\partial P}{\partial x} + P\,\frac{\partial f}{\partial x}, \quad \frac{\partial}{\partial y}(fQ) = f\,\frac{\partial Q}{\partial y} + Q\,\frac{\partial f}{\partial y},
\frac{\partial}{\partial z}(fR) = f\,\frac{\partial R}{\partial z} + R\,\frac{\partial f}{\partial z}.
Somando esses três resultados, fica
\operatorname{div}(f\mathbf{F}) = f\Bigl(\tfrac{\partial P}{\partial x}+\tfrac{\partial Q}{\partial y}+\tfrac{\partial R}{\partial z}\Bigr) + \Bigl(P\,\tfrac{\partial f}{\partial x}+Q\,\tfrac{\partial f}{\partial y}+R\,\tfrac{\partial f}{\partial z}\Bigr).

Passo 4

Reconhecemos duas quantidade:
\tfrac{\partial P}{\partial x}+\tfrac{\partial Q}{\partial y}+\tfrac{\partial R}{\partial z} = \operatorname{div}\mathbf{F},
e
P\,\tfrac{\partial f}{\partial x}+Q\,\tfrac{\partial f}{\partial y}+R\,\tfrac{\partial f}{\partial z} = \mathbf{F}\cdot\nabla f.
Logo a soma se organiza como
\operatorname{div}(f\mathbf{F}) = f\,\operatorname{div}\mathbf{F} + \mathbf{F}\cdot\nabla f,
que é exatamente a identidade a ser demonstrada.

Resposta

\operatorname{div}(f\mathbf{F}) = f\,\operatorname{div}\mathbf{F} + \mathbf{F}\cdot\nabla f.

Exercícios relacionados