Demonstre a identidade, admitindo que as derivadas parciais apropriadas existem e são contínuas. Se
for um campo escalar e
forem campos vetoriais, então
e
serão definidos por
-
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar a identidade
admitindo que todas as derivadas parciais envolvidas existem e são contínuas. O conteúdo aqui é cálculo vetorial, mais precisamente as definições de gradiente, produto vetorial e divergência, além do fato de que as derivadas parciais mistas são iguais (teorema de Schwarz).
Passo 2
Denotemos
onde, por exemplo,
. Então o produto vetorial é
Passo 3
Usando a definição de divergência, temos
Ao derivar cada parcela, aparecem seis termos com segundas derivadas de
e seis termos com segundas derivadas de
. Por exemplo, da primeira parcela surge
e assim sucessivamente.
Passo 4
Agrupando todos os termos, vemos que eles se organizam em pares do tipo
e também em pares do tipo
Como as derivadas parciais mistas são iguais (
,
etc.), cada par cancela. Logo a soma total é zero.