Demonstre a identidade, admitindo que as derivadas parciais apropriadas existem e são contínuas. Se
for um campo escalar e
forem campos vetoriais, então
e
serão definidos por
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Passo 1
O enunciado pede para provar que, sob hipóteses usuais de existência e continuidade das derivadas parciais, a divergência é linear, isto é,
O conteúdo principal é cálculo vetorial, mais especificamente a definição de divergência e a propriedade de linearidade das derivadas parciais.
Passo 2
Lembrando a definição de divergência: se
é um campo vetorial em
, então
Passo 3
Considere o campo
. Suas componentes são
Passo 4
Aplicando a definição de divergência a
, obtemos
Passo 5
Como as derivadas parciais são lineares, podemos separar cada termo:
para
. Logo,
Passo 6
Reconhecendo as somas dentro dos parênteses como
e
, concluímos que