Demonstre as identidades:
(f) \cot ^{2} x+\operatorname{sec} ^{2} x=\tan ^{2} x+\operatorname{cossec}^{2} x

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade trigonométrica
\cot^{2}x + \operatorname{sec}^{2}x = \tan^{2}x + \csc^{2}x
Usaremos as identidades pitagóricas fundamentais envolvendo \tan x, \operatorname{sec} x, \cot x e \csc x.

Passo 2

Recordando as identidades pitagóricas:
\tan^{2}x + 1 = \operatorname{sec}^{2}x
1 + \cot^{2}x = \csc^{2}x
Essas duas relações são derivadas de \sin^{2}x + \cos^{2}x = 1 dividindo por \cos^{2}x ou por \sin^{2}x.

Passo 3

Começamos transformando o lado esquerdo:
\cot^{2}x + \operatorname{sec}^{2}x = \cot^{2}x + \bigl(1 + \tan^{2}x\bigr) \quad\text{(usando \(\tan^{2}x + 1 = \operatorname{sec}^{2}x\))}
= \bigl(\cot^{2}x + 1\bigr) + \tan^{2}x = \csc^{2}x + \tan^{2}x \quad\text{(usando \(1 + \cot^{2}x = \csc^{2}x\)).}

Passo 4

O resultado obtido para o lado esquerdo coincide exatamente com o lado direito da identidade, ou seja,
\cot^{2}x + \operatorname{sec}^{2}x = \tan^{2}x + \csc^{2}x.
Portanto, a igualdade está demonstrada.

Resposta

A identidade \cot^{2}x + \operatorname{sec}^{2}x = \tan^{2}x + \csc^{2}x está provada.

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