Exercício 11. Se operatorname{sen} x=\frac{1}{3} e \operatorname{sec} y=\frac{5}{4}, onde x, y \in[0, \pi / 2], calcule:
(a) \operatorname{sen}(x+y)

Passo 1

O enunciado dá \operatorname{sen} x = \tfrac{1}{3} e \operatorname{sec} y = \tfrac{5}{4} com x,y\in[0,\tfrac{\pi}{2}]. Queremos \operatorname{sen}(x+y). Vamos usar a fórmula de adição de seno e, antes, determinar \cos x, \cos y e \operatorname{sen} y.

Passo 2

Como \operatorname{sen} x = \tfrac{1}{3} e x está em [0,\tfrac{\pi}{2}], temos
\cos x = \sqrt{1 - \operatorname{sen}^2 x} = \sqrt{1 - \Bigl(\tfrac{1}{3}\Bigr)^2} = \sqrt{\tfrac{8}{9}} = \tfrac{2\sqrt{2}}{3}.

Passo 3

De \operatorname{sec} y = \tfrac{5}{4} segue \cos y = \tfrac{4}{5}. Como y também está em [0,\tfrac{\pi}{2}],
\operatorname{sen} y = \sqrt{1 - \cos^2 y} = \sqrt{1 - \Bigl(\tfrac{4}{5}\Bigr)^2} = \sqrt{\tfrac{9}{25}} = \tfrac{3}{5}.

Passo 4

Aplicando a fórmula de adição de seno,
\operatorname{sen}(x+y) = \operatorname{sen} x\cos y + \cos x\operatorname{sen} y = \tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{4}{5} + \tfrac{2\sqrt{2}}{3}\cdot\tfrac{3}{5} = \tfrac{4}{15} + \tfrac{6\sqrt{2}}{15} = \tfrac{4 + 6\sqrt{2}}{15}.

Resposta

\operatorname{sen}(x+y) = \frac{4 + 6\sqrt{2}}{15}.

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