Demonstre as identidades:
(i) \tan x+\tan y=\frac{\operatorname{sen}(x+y)}{\cos x \cos y}

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade trigonométrica
\tan x + \tan y = \frac{\operatorname{sen}(x+y)}{\cos x \,\cos y}.
Para isso, vamos usar duas coisas fundamentais:
  1. A definição de tangente em termos de seno e cosseno,
    \displaystyle \tan t = \frac{\operatorname{sen} t}{\cos t}.
  2. A fórmula de adição para o seno,
    \displaystyle \operatorname{sen}(x+y) = \operatorname{sen} x\,\cos y + \cos x\,\operatorname{sen} y.

Passo 2

Escrevemos cada tangente como razão de seno por cosseno:
\tan x + \tan y = \frac{\operatorname{sen} x}{\cos x} + \frac{\operatorname{sen} y}{\cos y}.

Passo 3

Colocamos ambas as frações sobre o mesmo denominador \cos x\,\cos y:
\frac{\operatorname{sen} x}{\cos x} + \frac{\operatorname{sen} y}{\cos y} = \frac{\operatorname{sen} x\;\cos y}{\cos x\,\cos y} + \frac{\cos x\;\operatorname{sen} y}{\cos x\,\cos y} = \frac{\operatorname{sen} x\,\cos y + \cos x\,\operatorname{sen} y}{\cos x\,\cos y}.

Passo 4

No numerador aparece exatamente a soma de produtos que é a fórmula de adição do seno. Substituindo \operatorname{sen} x\,\cos y + \cos x\,\operatorname{sen} y = \operatorname{sen}(x+y), obtemos
\tan x + \tan y = \frac{\operatorname{sen}(x+y)}{\cos x\,\cos y},
o que encerra a demonstração.

Resposta

\tan x + \tan y = \frac{\operatorname{sen}(x+y)}{\cos x\,\cos y}.

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