Demonstre as identidades:
(j) \tan \left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)=-\cot \theta

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a identidade trigonométrica
\tan\Bigl(\theta+\frac{\pi}{2}\Bigr) = -\cot\theta.
Para isso vamos usar as fórmulas de soma de ângulos para seno e cosseno e a definição \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}.

Passo 2

Calcular \sin\!\bigl(\theta+\tfrac{\pi}{2}\bigr) usando
\sin(a+b)=\sin a\cos b + \cos a\sin b.
Aqui a=\theta e b=\tfrac{\pi}{2}, e sabemos que \cos\tfrac{\pi}{2}=0 e \sin\tfrac{\pi}{2}=1. Logo,
\sin\!\Bigl(\theta+\tfrac{\pi}{2}\Bigr) = \sin\theta\cdot 0 + \cos\theta\cdot 1 = \cos\theta.

Passo 3

Calcular \cos\!\bigl(\theta+\tfrac{\pi}{2}\bigr) usando
\cos(a+b)=\cos a\cos b - \sin a\sin b.
Com a=\theta e b=\tfrac{\pi}{2}, temos \cos\tfrac{\pi}{2}=0 e \sin\tfrac{\pi}{2}=1. Então
\cos\!\Bigl(\theta+\tfrac{\pi}{2}\Bigr) = \cos\theta\cdot 0 - \sin\theta\cdot 1 = -\sin\theta.

Passo 4

Agora aplicamos a definição de tangente:
\tan\Bigl(\theta+\tfrac{\pi}{2}\Bigr) = \frac{\sin\!\bigl(\theta+\tfrac{\pi}{2}\bigr)}% {\cos\!\bigl(\theta+\tfrac{\pi}{2}\bigr)} = \frac{\cos\theta}{-\sin\theta} = -\,\frac{\cos\theta}{\sin\theta} = -\cot\theta.

Resposta

\displaystyle \tan\Bigl(\theta+\tfrac{\pi}{2}\Bigr)=-\cot\theta.

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