Demonstre as identidades:
\operatorname{tg} x+\operatorname{cotg} x=2 \operatorname{cossec} 2 x

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a identidade trigonométrica
\operatorname{tg}x + \operatorname{cotg}x = 2\,\operatorname{cossec}2x.
Vamos usar definições de razões trigonométricas e a fórmula do ângulo duplo.

Passo 2

Escrevemos \operatorname{tg}x e \operatorname{cotg}x em termos de \sin x e \cos x:
\operatorname{tg}x = \frac{\sin x}{\cos x}, \qquad \operatorname{cotg}x = \frac{\cos x}{\sin x}.

Passo 3

Somamos as duas frações sobre o mesmo denominador:
\operatorname{tg}x + \operatorname{cotg}x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \,\cos x}.

Passo 4

Usamos a identidade pitagórica \sin^2 x + \cos^2 x = 1, então
\operatorname{tg}x + \operatorname{cotg}x = \frac{1}{\sin x\,\cos x}.

Passo 5

Reconhecemos que \sin2x = 2\,\sin x\,\cos x, ou seja
\sin x\,\cos x = \frac{1}{2}\,\sin2x.
Substituindo,
\operatorname{tg}x + \operatorname{cotg}x = \frac{1}{\tfrac{1}{2}\sin2x} = \frac{2}{\sin2x}.

Passo 6

Por definição, \operatorname{cossec}2x = \dfrac{1}{\sin2x}. Logo,
\frac{2}{\sin2x} = 2\,\operatorname{cossec}2x.
Isso mostra exatamente a identidade desejada.

Resposta

\operatorname{tg}x + \operatorname{cotg}x = 2\,\operatorname{cossec}2x.

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