Sendo 2 \operatorname{sen} x+\cos x=1, calcule \operatorname{tg} x.

Passo 1

O enunciado dá a equação
2\sin x + \cos x = 1
e pede para calcular \tan x.
Vamos usar as identidades trigonométricas que relacionam \sin, \cos, \tan e \operatorname{sec}: \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} e \operatorname{sec} x = \dfrac1{\cos x}, além de \operatorname{sec}^2 x = 1 + \tan^2 x.

Passo 2

Assumindo \cos x \neq 0, dividimos ambos os lados de
2\sin x + \cos x = 1
por \cos x. Obtemos
2\tan x + 1 = \operatorname{sec} x.

Passo 3

Elevamos os dois lados ao quadrado e usamos \operatorname{sec}^2 x = 1 + \tan^2 x:
(2\tan x + 1)^2 = \operatorname{sec}^2 x = 1 + \tan^2 x.

Passo 4

Expandindo e reorganizando,
4\tan^2 x + 4\tan x + 1 = 1 + \tan^2 x \quad\Longrightarrow\quad 3\tan^2 x + 4\tan x = 0 \quad\Longrightarrow\quad \tan x\,(3\tan x + 4)=0.
Logo as soluções são
\tan x = 0 \quad\text{ou}\quad \tan x = -\frac{4}{3}.

Passo 5

Como elevamos ao quadrado, é bom checar cada caso na equação original:
  • Se \tan x = 0, então \sin x=0 e para satisfazer 2\sin x+\cos x=1 precisamos de \cos x=1, o que ocorre em x=2k\pi.
  • Se \tan x = -\tfrac{4}{3}, podemos tomar \cos x=-\tfrac{3}{5}, \sin x=+\tfrac{4}{5}, e de fato
2\sin x + \cos x = 2\cdot\frac{4}{5} + \Bigl(-\frac{3}{5}\Bigr) = \frac{8 - 3}{5} = 1.

Resposta

\tan x = 0 ou \tan x = -\dfrac{4}{3}.

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