Demonstre as identidades seguintes:
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar a identidade
Informações relevantes fornecidas ou implicadas:
- A igualdade envolve as funções trigonométricas tangente, cotangente, secante e cossecante.
- Para que todos os termos façam sentido (não dividir por zero) é necessário que
e .
Nada mais foi dado numericamente; a tarefa é justificar algebricamente a igualdade acima.
Passo 2
Vamos lembrar as definições das funções trigonométricas envolvidas (escritas em termos de
e
), porque isso facilita manipular a expressão. Vou escrever cada definição e explicar cada símbolo:
-
(tangente) significa e é definida por
onde
é o seno de
e
é o cosseno de
.
-
(cotangente) significa e é
-
(secante) é
-
(cossecante, também escrita ) é
Estas definições valem sempre que
e
não sejam zero (evitam divisão por zero).
Passo 3
Agora substituímos as definições no membro esquerdo da identidade para escrever tudo em termos de
e
. Começando por
Para somar essas frações calculamos um denominador comum, que é
. Escrevendo passo a passo:
Isso dá
Passo 4
Agora usamos a identidade pitagórica fundamental da trigonometria, que diz que para qualquer
Isso vem da definição de seno e cosseno no círculo unitário ou da relação entre catetos e hipotenusa em um triângulo retângulo normalizado. Substituindo na expressão anterior obtemos
Passo 5
Finalmente, separamos a fração
em dois fatores e voltamos às funções definidas no Passo 2:
Portanto a cadeia de igualdades completa é
Passo 6
Observação sobre domínio: cada passo usou divisões por
e por
, por isso a identidade só vale para os
tais que
e
(ou seja,
não pode ser múltiplo de
nem de
modulo
, respectivamente). Fora desses pontos a expressão não está definida.