Demonstre as identidades seguintes:
\operatorname{tg} x+\operatorname{cotg} x=\operatorname{sec} x \cdot \operatorname{cossec} x

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a identidade
\operatorname{tg} x+\operatorname{cotg} x=\operatorname{sec} x\cdot\operatorname{cossec} x.
Informações relevantes fornecidas ou implicadas:
  • A igualdade envolve as funções trigonométricas tangente, cotangente, secante e cossecante.
  • Para que todos os termos façam sentido (não dividir por zero) é necessário que \sin x\neq0 e \cos x\neq0.
    Nada mais foi dado numericamente; a tarefa é justificar algebricamente a igualdade acima.

Passo 2

Vamos lembrar as definições das funções trigonométricas envolvidas (escritas em termos de \sin x e \cos x), porque isso facilita manipular a expressão. Vou escrever cada definição e explicar cada símbolo:
  • \operatorname{tg} x (tangente) significa \tan x e é definida por
\operatorname{tg} x = \tan x = \frac{\sin x}{\cos x},
onde \sin x é o seno de x e \cos x é o cosseno de x.
  • \operatorname{cotg} x (cotangente) significa \cot x e é
\operatorname{cotg} x = \cot x = \frac{\cos x}{\sin x}.
  • \operatorname{sec} x (secante) é
\operatorname{sec} x = \frac{1}{\cos x}.
  • \operatorname{cossec} x (cossecante, também escrita \csc x) é
\operatorname{cossec} x = \csc x = \frac{1}{\sin x}.
Estas definições valem sempre que \sin x e \cos x não sejam zero (evitam divisão por zero).

Passo 3

Agora substituímos as definições no membro esquerdo da identidade para escrever tudo em termos de \sin x e \cos x. Começando por
\operatorname{tg} x+\operatorname{cotg} x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x}.
Para somar essas frações calculamos um denominador comum, que é \sin x\cos x. Escrevendo passo a passo:
\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin x\cdot\sin x}{\sin x\cos x} + \frac{\cos x\cdot\cos x}{\sin x\cos x}.
Isso dá
\frac{\sin^2 x}{\sin x\cos x} + \frac{\cos^2 x}{\sin x\cos x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x\cos x}.

Passo 4

Agora usamos a identidade pitagórica fundamental da trigonometria, que diz que para qualquer x
\sin^2 x + \cos^2 x = 1.
Isso vem da definição de seno e cosseno no círculo unitário ou da relação entre catetos e hipotenusa em um triângulo retângulo normalizado. Substituindo na expressão anterior obtemos
\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x\cos x} = \frac{1}{\sin x\cos x}.

Passo 5

Finalmente, separamos a fração \dfrac{1}{\sin x\cos x} em dois fatores e voltamos às funções definidas no Passo 2:
\frac{1}{\sin x\cos x} = \frac{1}{\cos x}\cdot\frac{1}{\sin x} = \operatorname{sec} x \cdot \operatorname{cossec} x.
Portanto a cadeia de igualdades completa é
\operatorname{tg} x+\operatorname{cotg} x = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x\cos x} = \frac{1}{\sin x\cos x} = \operatorname{sec} x\cdot\operatorname{cossec} x.

Passo 6

Observação sobre domínio: cada passo usou divisões por \sin x e por \cos x, por isso a identidade só vale para os x tais que \sin x\neq0 e \cos x\neq0 (ou seja, x não pode ser múltiplo de \pi nem de \tfrac{\pi}{2} modulo 2\pi, respectivamente). Fora desses pontos a expressão não está definida.

Resposta

\operatorname{tg} x+\operatorname{cotg} x=\operatorname{sec} x\cdot\operatorname{cossec} x,\\ \text{para }\sin x\neq0\text{ e }\cos x\neq0

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