Demonstre as identidades seguintes:
(\operatorname{tg} x+\operatorname{cotg} x)(\operatorname{sec} x-\cos x)(\operatorname{cossec} x-\operatorname{sen} x)=1

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • Pede-se demonstrar que a expressão
(\operatorname{tg} x+\operatorname{cotg} x)(\operatorname{sec} x-\cos x)(\operatorname{cossec} x-\operatorname{sen} x)
é igual a 1.
  • Informações/dados do enunciado:
    • A expressão envolve as funções trigonométricas \operatorname{tg}x, \operatorname{cotg}x, \operatorname{sec} x, \cos x, \operatorname{cossec}x e \operatorname{sen}x.
    • Não há números específicos; a demonstração deve valer para todo x em que todas as funções estão definidas (ou seja, pontos onde \sin x\neq0 e \cos x\neq0, para evitar divisão por zero).

Passo 2

Definições e identidade trigonométrica fundamental (aulas rápidas que vamos usar).
  • Definições básicas que usaremos (explicando o que cada símbolo significa):
    • \sin x é a função seno de x.
    • \cos x é a função cosseno de x.
    • \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} (a tangente é seno dividido por cosseno).
    • \cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x} (a cotangente é cosseno dividido por seno).
    • \operatorname{sec} x = \dfrac{1}{\cos x} (a secante é o inverso do cosseno).
    • \csc x = \dfrac{1}{\sin x} (a cossecante — escrita aqui como \operatorname{cossec}x — é o inverso do seno).
  • Identidade trigonométrica fundamental: \sin^2 x + \cos^2 x = 1.Esta identidade será usada para transformar somas como \sin^2 x+\cos^2 x em 1.
Observação de domínio: ao usar as definições com frações, pressupõe-se \sin x\neq0 e \cos x\neq0.

Passo 3

Calcular e simplificar \operatorname{tg}x+\operatorname{cotg}x usando as definições.
  • Substituindo \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x} e \cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}:
\operatorname{tg}x+\operatorname{cotg}x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x}.
  • Colocar em denominador comum \sin x\cos x:
\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x\cos x}.
  • Usar a identidade \sin^2 x+\cos^2 x=1:
\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x\cos x} = \frac{1}{\sin x\cos x}.
Portanto
\operatorname{tg}x+\operatorname{cotg}x = \frac{1}{\sin x\cos x}.

Passo 4

Calcular e simplificar \operatorname{sec} x - \cos x.
  • Usar \operatorname{sec} x = \dfrac{1}{\cos x}:
\operatorname{sec} x - \cos x = \frac{1}{\cos x} - \cos x.
  • Colocar em denominador comum \cos x:
\frac{1}{\cos x} - \cos x = \frac{1 - \cos^2 x}{\cos x}.
  • Usar \sin^2 x + \cos^2 x = 1 rearranjada como 1-\cos^2 x=\sin^2 x:
\frac{1 - \cos^2 x}{\cos x} = \frac{\sin^2 x}{\cos x}.
Portanto
\operatorname{sec} x - \cos x = \frac{\sin^2 x}{\cos x}.

Passo 5

Calcular e simplificar \operatorname{cossec}x - \operatorname{sen}x (isto é, \csc x - \sin x).
  • Usar \csc x = \dfrac{1}{\sin x}:
\operatorname{cossec}x - \operatorname{sen}x = \frac{1}{\sin x} - \sin x.
  • Colocar em denominador comum \sin x:
\frac{1}{\sin x} - \sin x = \frac{1 - \sin^2 x}{\sin x}.
  • Usar 1-\sin^2 x=\cos^2 x:
\frac{1 - \sin^2 x}{\sin x} = \frac{\cos^2 x}{\sin x}.
Portanto
\operatorname{cossec}x - \operatorname{sen}x = \frac{\cos^2 x}{\sin x}.

Passo 6

Multiplicar as três partes já simplificadas e cancelar fatores.
  • Substituir os resultados dos Passos 3, 4 e 5 na expressão original:
(\operatorname{tg} x+\operatorname{cotg} x)(\operatorname{sec} x-\cos x)(\operatorname{cossec} x-\operatorname{sen} x) = \left(\frac{1}{\sin x\cos x}\right) \left(\frac{\sin^2 x}{\cos x}\right) \left(\frac{\cos^2 x}{\sin x}\right).
  • Multiplicar numeradores e denominadores:
\frac{1\cdot \sin^2 x \cdot \cos^2 x}{(\sin x\cos x)\cdot \cos x \cdot \sin x} = \frac{\sin^2 x \cos^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x}.
  • Cancelamento: o numerador e o denominador são iguais e não nulos (lembrando o domínio), portanto a fração vale 1.

Passo 7

Conclusão e observação sobre domínio.
  • Concluímos que, para todo x tal que \sin x\neq0 e \cos x\neq0,
(\operatorname{tg} x+\operatorname{cotg} x)(\operatorname{sec} x-\cos x)(\operatorname{cossec} x-\operatorname{sen} x)=1.
  • Observação prática para prova: o truque foi sempre trocar as funções pelas suas definições em \sin e \cos, usar a identidade pitagórica \sin^2x+\cos^2x=1 e então simplificar; esse padrão aparece muito em exercícios de identidades trigonométricas.

Resposta

\,1\,

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