Demonstre as identidades seguintes:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado.
- Pede-se demonstrar que a expressão
é igual a
.
- Informações/dados do enunciado:
- A expressão envolve as funções trigonométricas
, , , , e . - Não há números específicos; a demonstração deve valer para todo
em que todas as funções estão definidas (ou seja, pontos onde e , para evitar divisão por zero).
- A expressão envolve as funções trigonométricas
Passo 2
Definições e identidade trigonométrica fundamental (aulas rápidas que vamos usar).
- Definições básicas que usaremos (explicando o que cada símbolo significa):
-
é a função seno de . -
é a função cosseno de . -
(a tangente é seno dividido por cosseno). -
(a cotangente é cosseno dividido por seno). -
(a secante é o inverso do cosseno). -
(a cossecante — escrita aqui como — é o inverso do seno).
-
- Identidade trigonométrica fundamental:
Esta identidade será usada para transformar somas como em .
Observação de domínio: ao usar as definições com frações, pressupõe-se
e
.
Passo 3
Calcular e simplificar
usando as definições.
- Substituindo
e :
- Colocar em denominador comum
:
- Usar a identidade
:
Portanto
Passo 4
Calcular e simplificar
.
- Usar
:
- Colocar em denominador comum
:
- Usar
rearranjada como :
Portanto
Passo 5
Calcular e simplificar
(isto é,
).
- Usar
:
- Colocar em denominador comum
:
- Usar
:
Portanto
Passo 6
Multiplicar as três partes já simplificadas e cancelar fatores.
- Substituir os resultados dos Passos 3, 4 e 5 na expressão original:
- Multiplicar numeradores e denominadores:
- Cancelamento: o numerador e o denominador são iguais e não nulos (lembrando o domínio), portanto a fração vale
.
Passo 7
Conclusão e observação sobre domínio.
- Concluímos que, para todo
tal que e ,
- Observação prática para prova: o truque foi sempre trocar as funções pelas suas definições em
e , usar a identidade pitagórica e então simplificar; esse padrão aparece muito em exercícios de identidades trigonométricas.