Demonstre por indução matemática:
1^{3}+3^{3}+5^{3}+\ldots+(2 n-1)^{3}=n^{2}\left(2 n^{2}-1\right), \quad \forall n \in \mathbb{N}

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução em n, que vale
1^{3} + 3^{3} + 5^{3} + \cdots + (2n-1)^{3} \;=\; n^{2}\bigl(2n^{2}-1\bigr),
para todo n\in\mathbb{N}. O método de indução matemática consiste em dois passos básicos:
  1. Verificar o caso base (normalmente n=1).
  2. Mostrar que, se a fórmula vale para n=k, então vale para n=k+1.

Passo 2

(Caso base n=1).
À esquerda temos somente 1^{3}=1.
À direita,
n^{2}\bigl(2n^{2}-1\bigr)\big|_{n=1} =1^{2}\bigl(2\cdot1^{2}-1\bigr) =1\cdot(2-1)=1.
Portanto, a fórmula é verdadeira para n=1.

Passo 3

(Indução).
Suponha que, para algum k\ge1, seja válida a igualdade
1^{3} + 3^{3} + \cdots + (2k-1)^{3} = k^{2}\bigl(2k^{2}-1\bigr).
Vamos mostrar que então também vale
1^{3} + 3^{3} + \cdots + (2k-1)^{3} + \bigl(2(k+1)-1\bigr)^{3} = (k+1)^{2}\bigl(2(k+1)^{2}-1\bigr).

Passo 4

Usando a hipótese de indução, a soma até 2(k+1)-1=2k+1 é
k^{2}\bigl(2k^{2}-1\bigr) \;+\;(2k+1)^{3}.
Calculemos explicitamente (2k+1)^{3}:
(2k+1)^{3} =8k^{3} + 12k^{2} + 6k +1.
Somando, obtemos
k^{2}(2k^{2}-1) + 8k^{3} + 12k^{2} + 6k +1 =2k^{4} - k^{2} + 8k^{3} + 12k^{2} + 6k +1 =2k^{4} +8k^{3} +11k^{2} +6k +1.

Passo 5

Precisamos ver que
2k^{4} +8k^{3} +11k^{2} +6k +1 \;=\; (k+1)^{2}\bigl(2(k+1)^{2}-1\bigr).
À direita,
(k+1)^{2}=k^{2}+2k+1, \quad 2(k+1)^{2}-1=2k^{2}+4k+1,
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(k^{2}+2k+1)(2k^{2}+4k+1) =2k^{4} +8k^{3} +11k^{2} +6k +1,
exatamente o que obtivemos. Portanto a igualdade vale para n=k+1.

Passo 6

Concluímos que a fórmula é verdadeira para n=1 e que, se vale para n=k, vale também para n=k+1. Pelo princípio da indução matemática, a identidade
1^{3}+3^{3}+\cdots+(2n-1)^{3} = n^{2}\bigl(2n^{2}-1\bigr)
vale para todo n\in\mathbb{N}.

Resposta

A propriedade foi demonstrada por indução e vale para todo n\in\mathbb{N}.

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