Demonstre por indução matemática:
Passo 1
O enunciado pede para provar, por indução em
, que vale
para todo
. O método de indução matemática consiste em dois passos básicos:
- Verificar o caso base (normalmente
). - Mostrar que, se a fórmula vale para
, então vale para .
Passo 2
(Caso base
).
À esquerda temos somente .
À direita,
À esquerda temos somente
À direita,
Portanto, a fórmula é verdadeira para
.
Passo 3
(Indução).
Suponha que, para algum , seja válida a igualdade
Suponha que, para algum
Vamos mostrar que então também vale
Passo 4
Usando a hipótese de indução, a soma até
é
Calculemos explicitamente
:
Somando, obtemos
Passo 5
Precisamos ver que
À direita,
logo
exatamente o que obtivemos. Portanto a igualdade vale para
.
Passo 6
Concluímos que a fórmula é verdadeira para
e que, se vale para
, vale também para
. Pelo princípio da indução matemática, a identidade
vale para todo
.
Resposta
A propriedade foi demonstrada por indução e vale para todo
.