Demonstre por indução matemática:
1^{2}+3^{2}+5^{2}+\ldots+(2 n-1)^{2}=\frac{n\left(4 n^{2}-1\right)}{3}, \quad \forall n \in \mathbb{N}

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução em n, que a soma dos quadrados dos n primeiros números ímpares satisfaz
1^{2}+3^{2}+5^{2}+\dots+(2n-1)^{2} = \frac{n\bigl(4n^{2}-1\bigr)}{3}.
O conteúdo principal é o princípio de indução matemática e manipulação algébrica de somatórios.

Passo 2

Base da indução n=1: à esquerda temos apenas 1^{2}=1. À direita,
\frac{1\bigl(4\cdot1^{2}-1\bigr)}{3} = \frac{1\cdot(4-1)}{3} = \frac{3}{3} =1.
Logo, a fórmula vale para n=1.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que a fórmula seja verdadeira para algum k\in\mathbb{N}, isto é,
1^{2}+3^{2}+\dots+(2k-1)^{2} = \frac{k\bigl(4k^{2}-1\bigr)}{3}.

Passo 4

Passo indutivo n=k+1: somamos o próximo termo (2(k+1)-1)^{2}=(2k+1)^{2} à hipótese:
1^{2}+\dots+(2k-1)^{2} + (2k+1)^{2} = \frac{k\bigl(4k^{2}-1\bigr)}{3} + (2k+1)^{2}.
Calculamos em um denominador comum:
\frac{k(4k^{2}-1)}{3} + \frac{3\bigl(4k^{2}+4k+1\bigr)}{3} = \frac{4k^{3}-k +12k^{2}+12k+3}{3} = \frac{4k^{3}+12k^{2}+11k+3}{3}.
Fatorando k+1:
4k^{3}+12k^{2}+11k+3 = (k+1)\bigl(4k^{2}+8k+3\bigr) = (k+1)\bigl(4(k+1)^{2}-1\bigr).
Portanto
1^{2}+\dots+(2k+1)^{2} = \frac{(k+1)\bigl(4(k+1)^{2}-1\bigr)}{3},
que é exatamente a fórmula para n=k+1.

Resposta

A propriedade é verdadeira para n=1 e, do passo indutivo, decorre que vale para todo n\in\mathbb{N}.

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