Demonstre que:
\left|\begin{array}{lll}a_{1}+b_{1} & a_{1}-b_{1} & c_{1} \a_{2}+b_{2} & a_{2}-b_{2} & c_{2} \a_{3}+b_{3} & a_{3}-b_{3} & c^{3}\end{array}\right|=(-2)\left|\begin{array}{lll}a_{1} & b_{1} & c_{1} \a_{2} & b_{2} & c_{2} \a_{3} & b_{3} & c_{3}\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o determinante da matriz cujas duas primeiras colunas são (a_i+b_i) e (a_i-b_i) (para i=1,2,3) e terceira coluna (c_i) vale -2 vezes o determinante da matriz cujas colunas são (a_i), (b_i) e (c_i).
Conteúdo usado: propriedades de determinantes—linearidade em cada coluna e troca de colunas.

Passo 2

Definimos os vetores-coluna
\mathbf A = \begin{pmatrix}a_{1}\a_{2}\a_{3}\end{pmatrix},\quad \mathbf B = \begin{pmatrix}b_{1}\b_{2}\b_{3}\end{pmatrix},\quad \mathbf C = \begin{pmatrix}c_{1}\c_{2}\c_{3}\end{pmatrix}.
Então o determinante que queremos é
\det(\mathbf A+\mathbf B,\;\mathbf A-\mathbf B,\;\mathbf C).

Passo 3

Usando linearidade na primeira coluna,
\det(\mathbf A+\mathbf B,\mathbf A-\mathbf B,\mathbf C) =\det(\mathbf A,\mathbf A-\mathbf B,\mathbf C) +\det(\mathbf B,\mathbf A-\mathbf B,\mathbf C).
Agora aplicamos linearidade na segunda coluna em cada termo:
\det(\mathbf A,\mathbf A-\mathbf B,\mathbf C) =\det(\mathbf A,\mathbf A,\mathbf C)\;-\;\det(\mathbf A,\mathbf B,\mathbf C),
\det(\mathbf B,\mathbf A-\mathbf B,\mathbf C) =\det(\mathbf B,\mathbf A,\mathbf C)\;-\;\det(\mathbf B,\mathbf B,\mathbf C).

Passo 4

Como qualquer determinante com duas colunas iguais é zero, \det(\mathbf A,\mathbf A,\mathbf C)=0 e \det(\mathbf B,\mathbf B,\mathbf C)=0.
Logo
\det(\mathbf A+\mathbf B,\mathbf A-\mathbf B,\mathbf C) =-\det(\mathbf A,\mathbf B,\mathbf C) +\det(\mathbf B,\mathbf A,\mathbf C).
Mas trocar duas colunas inverte o sinal, ou seja \det(\mathbf B,\mathbf A,\mathbf C)=-\det(\mathbf A,\mathbf B,\mathbf C).
Portanto
\det(\mathbf A+\mathbf B,\mathbf A-\mathbf B,\mathbf C) =-2\,\det(\mathbf A,\mathbf B,\mathbf C).

Resposta

\left|\begin{array}{lll} a_{1}+b_{1} & a_{1}-b_{1} & c_{1}\\\ a_{2}+b_{2} & a_{2}-b_{2} & c_{2}\\\ a_{3}+b_{3} & a_{3}-b_{3} & c_{3} \end{array}\right| = (-2) \left|\begin{array}{lll} a_{1} & b_{1} & c_{1}\\\ a_{2} & b_{2} & c_{2}\\\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{array}\right|.

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