\left|\begin{array}{llll}a & b & c & d+e \a & c & d & e+b \a & d & e & b+c \a & e & b & c+d\end{array}\right|=0
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o determinante da matriz
\begin{pmatrix} a & b & c & d+e\\\ a & c & d & e+b\\\ a & d & e & b+c\\\ a & e & b & c+d \end{pmatrix}
é zero.
O conteúdo principal aqui é usar operações elementares de linha (que não mudam o valor do determinante) e depois reconhecer dependência linear para concluir que o determinante se anula.
Como só a primeira linha tem entrada não nula na primeira coluna, expandimos o determinante por essa coluna. Assim
\det = a \;\times\; \det\begin{pmatrix} c - b & d - c & b - d\\\ d - b & e - c & b+c - d - e\\\ e - b & b - c & c - e \end{pmatrix}.
Passo 4
Basta mostrar que o determinante desse menor 3\times3 é zero. Note que em cada linha a soma das três entradas dá
(c-b)+(d-c)+(b-d)=0,
(d-b)+(e-c)+(b+c-d-e)=0,
(e-b)+(b-c)+(c-e)=0.
Isto é, cada linha soma zero, o que significa que os três vetores-linha estão no mesmo plano de \mathbb{R}^3 (são ortogonais a (1,1,1)) e, portanto, são linearmente dependentes. Logo o determinante do menor é zero.