Demonstre que:
\left|\begin{array}{llll}c & a & d & b \a & c & d & b \a & c & b & d \c & a & b & d\end{array}\right|=0

Passo 1

O enunciado nos dá o determinante da matriz
\begin{vmatrix} c & a & d & b\\\ a & c & d & b\\\ a & c & b & d\\\ c & a & b & d \end{vmatrix}
e pede para mostrar que ele vale zero. Vamos usar a teoria de determinantes que diz: “se as linhas (ou colunas) de uma matriz são linearmente dependentes, então o determinante dessa matriz é zero”.

Passo 2

Denotemos as linhas da matriz por
R_{1} = (c,\;a,\;d,\;b),\quad R_{2} = (a,\;c,\;d,\;b),\quad R_{3} = (a,\;c,\;b,\;d),\quad R_{4} = (c,\;a,\;b,\;d).

Passo 3

Vamos calcular a soma de duas combinações de linhas e mostrar que elas coincidem. Primeiro
R_{1} + R_{3} = (c,\;a,\;d,\;b) \;+\;(a,\;c,\;b,\;d) = (c+a,\;a+c,\;d+b,\;b+d).
Agora
R_{2} + R_{4} = (a,\;c,\;d,\;b) \;+\;(c,\;a,\;b,\;d) = (a+c,\;c+a,\;d+b,\;b+d).
Como c+a = a+c e d+b = b+d, obtemos
R_{1} + R_{3} \;=\; R_{2} + R_{4}.

Passo 4

Da igualdade R_{1} + R_{3} = R_{2} + R_{4} segue que
R_{1} - R_{2} + R_{3} - R_{4} = (0,0,0,0),
isto é, existe uma combinação linear não trivial das linhas que gera o vetor nulo. Logo, as linhas são linearmente dependentes e o determinante vale zero.

Resposta

0

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